代数学準備例

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24} > 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 24$ を因数分解します。

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ステップ 5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 24$ で、その和が $2$ です。

$- 4, 6$

ステップ 5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x + 6) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 7

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 8

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 9

最終解は $(x - 4) (x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 6$

ステップ 10

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 1$

$x = 4, - 6$

ステップ 11

解をまとめます。

$x = 1, 4, - 6$

ステップ 12

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ の定義域を求めます。

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ステップ 12.1

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

ステップ 12.2

$x$ について解きます。

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ステップ 12.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 24$ を因数分解します。

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ステップ 12.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 24$ で、その和が $2$ です。

$- 4, 6$

ステップ 12.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x + 6) = 0$

ステップ 12.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 12.2.3

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.2.3.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 12.2.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 12.2.4

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.2.4.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 12.2.4.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 12.2.5

最終解は $(x - 4) (x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 6$

ステップ 12.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 13

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 6$

$- 6 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 14

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 14.1

区間 $x < - 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.1.1

区間 $x < - 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 14.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$\frac{{(- 8)}^{2} - 2 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{2} + 2 (- 8) - 24} > 0$

ステップ 14.1.3

左辺 $3.375$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 14.2

区間 $- 6 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.2.1

区間 $- 6 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 14.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 24} > 0$

ステップ 14.2.3

左辺 $- 0.041\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 14.3

区間 $1 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.3.1

区間 $1 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 14.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1}{{(2)}^{2} + 2 (2) - 24} > 0$

ステップ 14.3.3

左辺 $- 0.0625$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 14.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 14.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{{(6)}^{2} - 2 \cdot 6 + 1}{{(6)}^{2} + 2 (6) - 24} > 0$

ステップ 14.4.3

左辺 $1.041\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 14.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 6$ 真

$- 6 < x < 1$ 偽

$1 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < - 6$ 真

$- 6 < x < 1$ 偽

$1 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 15

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 6$ または $x > 4$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 6 or x > 4$

区間記号：

$(- \infty, - 6) \cup (4, \infty)$

ステップ 17

代数学準備 例

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