代数学準備例

$2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1} = 14$

ステップ 1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1}) = \ln (14)$

ステップ 2

左辺を展開します。

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ステップ 2.1

$\ln (2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1})$ を $\ln (2^{2 x + 2}) + \ln (3^{x + 1})$ に書き換えます。

$\ln (2^{2 x + 2}) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (14)$

ステップ 2.2

$2 x + 2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{2 x + 2})$ を展開します。

$(2 x + 2) \ln (2) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (14)$

ステップ 2.3

$x + 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x + 1})$ を展開します。

$(2 x + 2) \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (14)$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分配則を当てはめます。

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (14)$

ステップ 3.1.2

分配則を当てはめます。

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + x \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (14)$

ステップ 3.1.3

$\ln (3)$ に $1$ をかけます。

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) = \ln (14)$

ステップ 4

$2 \ln (2)$ を移動させます。

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (3) = \ln (14)$

ステップ 5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (3) - \ln (14) = 0$

ステップ 6

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}) = 0$

ステップ 7

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺から $2 \ln (2)$ を引きます。

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3}{14}) = - 2 \ln (2)$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $\ln (\frac{3}{14})$ を引きます。

$2 x \ln (2) + x \ln (3) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

ステップ 8

$x$ を $2 x \ln (2) + x \ln (3)$ で因数分解します。

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ステップ 8.1

$x$ を $2 x \ln (2)$ で因数分解します。

$x (2 \ln (2)) + x \ln (3) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

ステップ 8.2

$x$ を $x \ln (3)$ で因数分解します。

$x (2 \ln (2)) + x (\ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

ステップ 8.3

$x$ を $x (2 \ln (2)) + x (\ln (3))$ で因数分解します。

$x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

ステップ 9

$x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$ の各項を $2 \ln (2) + \ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.1

$x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$ の各項を $2 \ln (2) + \ln (3)$ で割ります。

$\frac{x (2 \ln (2) + \ln (3))}{2 \ln (2) + \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

ステップ 9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$2 \ln (2) + \ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (2 \ln (2) + \ln (3))}{2 \ln (2) + \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

ステップ 9.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

ステップ 9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

ステップ 9.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} - \frac{\ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

ステップ 9.3.2

項を簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{- 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

ステップ 9.3.2.2

$- 1$ を $- 2 \ln (2)$ で因数分解します。

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

ステップ 9.3.2.3

$- 1$ を $- \ln (\frac{3}{14})$ で因数分解します。

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

ステップ 9.3.2.4

$- 1$ を $- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})$ で因数分解します。

$x = \frac{- (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

ステップ 9.3.2.5

式を簡約します。

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ステップ 9.3.2.5.1

$- (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))$ を $- 1 (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

ステップ 9.3.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

10進法形式：

$x = 0.06203479 \dots$

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