代数学準備例

$2^{2 x} - 2^{x - 1} - 2^{2} + 2 < 0$

ステップ 1

$2^{x - 1}$ を $2^{x} \cdot 2^{- 1}$ に書き換えます。

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

ステップ 2

$2^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

ステップ 3

括弧を削除します。

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

ステップ 4

$u$ を $2^{x}$ に代入します。

$u^{2} - u \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

ステップ 5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u^{2} - u \cdot \frac{1}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ と $u$ をまとめます。

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

ステップ 5.3

$2$ を $2$ 乗します。

$u^{2} - \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 + 2 = 0$

ステップ 5.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$u^{2} - \frac{u}{2} - 4 + 2 = 0$

ステップ 6

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2 = 0$

ステップ 7

$u$ について解きます。

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ステップ 7.1

両辺に最小公分母 $2$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} + 2 (- \frac{u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

ステップ 7.1.2

簡約します。

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ステップ 7.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.2.1.1

$- \frac{u}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

ステップ 7.1.2.1.2

共通因数を約分します。

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

ステップ 7.1.2.1.3

式を書き換えます。

$2 u^{2} - u + 2 \cdot - 2 = 0$

ステップ 7.1.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$2 u^{2} - u - 4 = 0$

ステップ 7.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.3

$a = 2$ 、 $b = - 1$ 、および $c = - 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4

簡約します。

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ステップ 7.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.1.2.2

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.1.3

$1$ と $32$ をたし算します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$

ステップ 7.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

ステップ 8

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

ステップ 9

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ を解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ として書き換えます。

$2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

ステップ 9.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

ステップ 9.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{x})$ を展開します。

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

ステップ 9.4

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ の各項を $\ln (2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.4.1

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ の各項を $\ln (2)$ で割ります。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

ステップ 9.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.4.2.1

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

ステップ 9.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

ステップ 10

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

ステップ 11

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ を解きます。

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ステップ 11.1

方程式を $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ として書き換えます。

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

ステップ 11.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$

ステップ 11.3

$\ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 11.4

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ の解はありません

解がありません

ステップ 12

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

区間記号：

$(- \infty, \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)})$

ステップ 15

代数学準備 例

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