代数学準備例

$\sqrt{x + 25} + 5 = x$

ステップ 1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$\sqrt{x + 25} = x - 5$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x + 25}}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 25}$ を ${(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${({(x + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

${({(x + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x + 25)}^{1} = {(x - 5)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$x + 25 = {(x - 5)}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(x - 5)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

${(x - 5)}^{2}$ を $(x - 5) (x - 5)$ に書き換えます。

$x + 25 = (x - 5) (x - 5)$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 5) (x - 5)$ を展開します。

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ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x + 25 = x (x - 5) - 5 (x - 5)$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x + 25 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x + 25 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x + 25 = x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

ステップ 3.3.1.3.1.2

$- 5$ を $x$ の左に移動させます。

$x + 25 = x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5$

ステップ 3.3.1.3.1.3

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$x + 25 = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

ステップ 3.3.1.3.2

$- 5 x$ から $5 x$ を引きます。

$x + 25 = x^{2} - 10 x + 25$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} - 10 x + 25 = x + 25$

ステップ 4.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x^{2} - 10 x + 25 - x = 25$

ステップ 4.2.2

$- 10 x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} - 11 x + 25 = 25$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$x^{2} - 11 x + 25 - 25 = 0$

ステップ 4.4

$x^{2} - 11 x + 25 - 25$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.4.1

$25$ から $25$ を引きます。

$x^{2} - 11 x + 0 = 0$

ステップ 4.4.2

$x^{2} - 11 x$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - 11 x = 0$

ステップ 4.5

$x$ を $x^{2} - 11 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 11 x = 0$

ステップ 4.5.2

$x$ を $- 11 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 11 = 0$

ステップ 4.5.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 11$ で因数分解します。

$x (x - 11) = 0$

ステップ 4.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 11 = 0$

ステップ 4.7

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4.8

$x - 11$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.8.1

$x - 11$ が $0$ に等しいとします。

$x - 11 = 0$

ステップ 4.8.2

方程式の両辺に $11$ を足します。

$x = 11$

ステップ 4.9

最終解は $x (x - 11) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 11$

ステップ 5

$\sqrt{x + 25} + 5 = x$ が真にならない解を除外します。

$x = 11$

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