代数学準備例

$\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}} - \frac{x}{y - x}$

ステップ 1

$\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y - x}{y - x}$ を掛けます。

$\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x} - \frac{x}{y - x}$

ステップ 2

$- \frac{x}{y - x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2} - x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x} - \frac{x}{y - x} \cdot \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2} - x^{2}}$

ステップ 3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(y^{2} - x^{2}) (y - x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.1

$\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}}$ に $\frac{y - x}{y - x}$ をかけます。

$\frac{2 x (y - x)}{(y^{2} - x^{2}) (y - x)} - \frac{x}{y - x} \cdot \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2} - x^{2}}$

ステップ 3.2

$\frac{x}{y - x}$ に $\frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2} - x^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x (y - x)}{(y^{2} - x^{2}) (y - x)} - \frac{x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

ステップ 3.3

$(y^{2} - x^{2}) (y - x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 x (y - x)}{(y - x) (y^{2} - x^{2})} - \frac{x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x (y - x) - x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

ステップ 5

因数分解した形で $\frac{2 x (y - x) - x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$ を書き換えます。

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ステップ 5.1

$x$ を $2 x (y - x) - x (y^{2} - x^{2})$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1

$x$ を $2 x (y - x)$ で因数分解します。

$\frac{x (2 (y - x)) - x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

ステップ 5.1.2

$x$ を $- x (y^{2} - x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{x (2 (y - x)) + x (- (y^{2} - x^{2}))}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

ステップ 5.1.3

$x$ を $x (2 (y - x)) + x (- (y^{2} - x^{2}))$ で因数分解します。

$\frac{x (2 (y - x) - (y^{2} - x^{2}))}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 y + 2 (- x) - (y^{2} - x^{2}))}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

ステップ 5.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x (2 y - 2 x - (y^{2} - x^{2}))}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} - - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

ステップ 5.5

$- - x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + 1 x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

ステップ 5.5.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

ステップ 5.6

因数分解。

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ステップ 5.6.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{(y - x) ((y + x) (y - x))}$

ステップ 5.6.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{(y - x) (y + x) (y - x)}$

ステップ 5.7

指数をまとめます。

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ステップ 5.7.1

$y - x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{{(y - x)}^{1} (y - x) (y + x)}$

ステップ 5.7.2

$y - x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{{(y - x)}^{1} {(y - x)}^{1} (y + x)}$

ステップ 5.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{{(y - x)}^{1 + 1} (y + x)}$

ステップ 5.7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{{(y - x)}^{2} (y + x)}$

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