代数学準備例

$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{x}{x^{2} - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

ステップ 2

$\frac{5 x}{x - x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ を掛けます。

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

ステップ 3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.1

$\frac{x}{x^{2} - 1}$ に $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ をかけます。

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2

$\frac{5 x}{x - x^{2}}$ に $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ をかけます。

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 3.3

$(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x (x - x^{2})}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5

因数分解した形で $\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$ を書き換えます。

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ステップ 5.1

$x$ を $x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1

$x$ を $5 x (x^{2} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.1.2

$x$ を $x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))$ で因数分解します。

$\frac{x (x - x^{2} + 5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.2

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$\frac{x (u + 4 u^{2} - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.3

群による因数分解。

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ステップ 5.3.1

項を並べ替えます。

$\frac{x (4 u^{2} + u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.3.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.3.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{x (4 u^{2} + 1 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.3.2.2

$1$ を $- 4$ プラス $5$ に書き換える

$\frac{x (4 u^{2} + (- 4 + 5) u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (4 u^{2} - 4 u + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.3.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.3.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{x ((4 u^{2} - 4 u) + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (4 u (u - 1) + 5 (u - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.3.4

最大公約数 $u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{x ((u - 1) (4 u + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.4

因数分解。

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ステップ 5.4.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$\frac{x ((x - 1) (4 x + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.4.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.5

$x$ を $x - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x^{1} - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.5.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.5.3

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 + x (- x)) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.5.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- x)$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot (1 - x) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.5.5

$x$ に $1 - x$ をかけます。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1)}$

ステップ 5.6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1^{2})}$

ステップ 5.7

因数分解。

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ステップ 5.7.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) ((x + 1) (x - 1))}$

ステップ 5.7.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.8

指数をまとめます。

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ステップ 5.8.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - x) (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.8.2

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - (x)) (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.8.3

$- 1$ を $- 1 (- 1) - (x)$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1 + x)) (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.8.4

括弧を削除します。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (- 1 + x) (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.8.5

項を並べ替えます。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.8.6

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) (x + 1)}$

ステップ 5.8.7

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) (x + 1)}$

ステップ 5.8.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

ステップ 5.8.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 5.9

今日数因数で約分することで式 $\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ を約分します。

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ステップ 5.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 5.9.2

式を書き換えます。

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 6

今日数因数で約分することで式 $\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ を約分します。

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ステップ 6.1

$x - 1$ を $- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$\frac{4 x + 5}{- 1 (x - 1) (x + 1)}$

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