代数学準備例

$\frac{6 x^{2} + 36 x y + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \div \frac{7 x + 21 x}{x + y}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{6 x^{2} + 36 x y + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$6$ を $6 x^{2} + 36 x y + 54 y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{6 (x^{2}) + 36 x y + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 2.1.2

$6$ を $36 x y$ で因数分解します。

$\frac{6 (x^{2}) + 6 (6 x y) + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 2.1.3

$6$ を $54 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{6 (x^{2}) + 6 (6 x y) + 6 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 2.1.4

$6$ を $6 (x^{2}) + 6 (6 x y)$ で因数分解します。

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y) + 6 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 2.1.5

$6$ を $6 (x^{2} + 6 x y) + 6 (9 y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$9 y^{2}$ を ${(3 y)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x y = 2 \cdot x \cdot (3 y)$

ステップ 2.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{6 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot (3 y) + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 2.2.4

$a = x$ と $b = 3 y$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 1 \cdot 5 = 5$ で和が $b = 6$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 5 y^{2} + 6 x y} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 3.1.2

$5 y^{2}$ と $6 x y$ を並べ替えます。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 3.1.3

$6$ を $6 x y$ で因数分解します。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 3.1.4

$6$ を $1$ プラス $5$ に書き換える

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + (1 + 5) (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 3.1.5

分配則を当てはめます。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 1 (x y) + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 3.1.6

$x y$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 3.1.7

括弧を移動させます。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x^{2} + x y) + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x (x + y) + 5 y (x + y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 3.3

最大公約数 $x + y$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 4

$x + y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y} \cdot \frac{1}{7 x + 21 x}$

ステップ 5

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y}$ に $\frac{1}{7 x + 21 x}$ をかけます。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (7 x + 21 x)}$

ステップ 6

$7 x$ と $21 x$ をたし算します。

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) \cdot 28 x}$

ステップ 7

$6$ と $28$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$2$ を $6 {(x + 3 y)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 {(x + 3 y)}^{2})}{(x + 5 y) \cdot 28 x}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$2$ を $(x + 5 y) \cdot 28 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 {(x + 3 y)}^{2})}{2 ((x + 5 y) \cdot 14 x)}$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 {(x + 3 y)}^{2})}{2 ((x + 5 y) \cdot 14 x)}$

ステップ 7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) \cdot 14 x}$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

$14$ を $x + 5 y$ の左に移動させます。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{14 \cdot (x + 5 y) x}$

ステップ 8.2

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{14 (x + 5 y) x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{14 x (x + 5 y)}$

代数学準備 例

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