代数学準備例

$216 x^{6} + 19 x^{3} - 1$

ステップ 1

$x^{6}$ を ${(x^{3})}^{2}$ に書き換えます。

$216 {(x^{3})}^{2} + 19 x^{3} - 1$

ステップ 2

$u = x^{3}$ とします。 $u$ を $x^{3}$ に代入します。

$216 u^{2} + 19 u - 1$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 216 \cdot - 1 = - 216$ で和が $b = 19$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$19$ を $19 u$ で因数分解します。

$216 u^{2} + 19 (u) - 1$

ステップ 3.1.2

$19$ を $- 8$ プラス $27$ に書き換える

$216 u^{2} + (- 8 + 27) u - 1$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$216 u^{2} - 8 u + 27 u - 1$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(216 u^{2} - 8 u) + 27 u - 1$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$8 u (27 u - 1) + 1 (27 u - 1)$

ステップ 3.3

最大公約数 $27 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(27 u - 1) (8 u + 1)$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$(27 x^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

ステップ 5

$27 x^{3}$ を ${(3 x)}^{3}$ に書き換えます。

$({(3 x)}^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

ステップ 6

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$({(3 x)}^{3} - 1^{3}) (8 x^{3} + 1)$

ステップ 7

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 x$ であり、 $b = 1$ です。

$(3 x - 1) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$(3 x - 1) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

ステップ 8.2

$3$ を $2$ 乗します。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

ステップ 8.3

$3$ に $1$ をかけます。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

ステップ 8.4

1のすべての数の累乗は1です。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (8 x^{3} + 1)$

ステップ 9

$8 x^{3}$ を ${(2 x)}^{3}$ に書き換えます。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1)$

ステップ 10

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1^{3})$

ステップ 11

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 1$ です。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

ステップ 12

因数分解。

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ステップ 12.1

簡約します。

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ステップ 12.1.1

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (2^{2} x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

ステップ 12.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

ステップ 12.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}))$

ステップ 12.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1^{2}))$

ステップ 12.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1))$

ステップ 12.2

不要な括弧を削除します。

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$

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