代数学準備例

$15 y^{8} + 30 y^{4} - 45 y^{2}$

ステップ 1

$15 y^{2}$ を $15 y^{8} + 30 y^{4} - 45 y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$15 y^{2}$ を $15 y^{8}$ で因数分解します。

$15 y^{2} (y^{6}) + 30 y^{4} - 45 y^{2}$

ステップ 1.2

$15 y^{2}$ を $30 y^{4}$ で因数分解します。

$15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2}) - 45 y^{2}$

ステップ 1.3

$15 y^{2}$ を $- 45 y^{2}$ で因数分解します。

$15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$

ステップ 1.4

$15 y^{2}$ を $15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2})$ で因数分解します。

$15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$

ステップ 1.5

$15 y^{2}$ を $15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$ で因数分解します。

$15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2} - 3)$

ステップ 2

有理根検定を用いて $y^{6} + 2 y^{2} - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3$

ステップ 2.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{6} + 2 {(- 1)}^{2} - 3$

ステップ 2.3.2

$- 1$ を $6$ 乗します。

$1 + 2 {(- 1)}^{2} - 3$

ステップ 2.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 2 \cdot 1 - 3$

ステップ 2.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$1 + 2 - 3$

ステップ 2.3.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 - 3$

ステップ 2.3.6

$3$ から $3$ を引きます。

$0$

ステップ 2.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $y + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{y^{6} + 2 y^{2} - 3}{y + 1}$

ステップ 2.5

$y^{6} + 2 y^{2} - 3$ を $y + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

ステップ 2.5.2

被除数 $y^{6}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

ステップ 2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

ステップ 2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y^{6} + y^{5}$ の符号をすべて変更します。

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

ステップ 2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

ステップ 2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

ステップ 2.5.7

被除数 $- y^{5}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

ステップ 2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

ステップ 2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- y^{5} - y^{4}$ の符号をすべて変更します。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

ステップ 2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

ステップ 2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

ステップ 2.5.12

被除数 $y^{4}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

ステップ 2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

ステップ 2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $y^{4} + y^{3}$ の符号をすべて変更します。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

ステップ 2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

ステップ 2.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

ステップ 2.5.17

被除数 $- y^{3}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

ステップ 2.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

ステップ 2.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $- y^{3} - y^{2}$ の符号をすべて変更します。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

ステップ 2.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

ステップ 2.5.21

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

ステップ 2.5.22

被除数 $3 y^{2}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

ステップ 2.5.23

新しい商の項に除数を掛けます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

ステップ 2.5.24

式は被除数から引く必要があるので、 $3 y^{2} + 3 y$ の符号をすべて変更します。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

ステップ 2.5.25

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

ステップ 2.5.26

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

ステップ 2.5.27

被除数 $- 3 y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

ステップ 2.5.28

新しい商の項に除数を掛けます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

ステップ 2.5.29

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 y - 3$ の符号をすべて変更します。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

ステップ 2.5.30

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

$0$

ステップ 2.5.31

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$y^{5} - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3$

ステップ 2.6

$y^{6} + 2 y^{2} - 3$ を因数の集合として書き換えます。

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{5} - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

ステップ 3

$y^{4}$ を $y^{5} - y^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$y^{4}$ を $y^{5}$ で因数分解します。

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} y - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

ステップ 3.2

$y^{4}$ を $- y^{4}$ で因数分解します。

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} y + y^{4} \cdot - 1 + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

ステップ 3.3

$y^{4}$ を $y^{4} y + y^{4} \cdot - 1$ で因数分解します。

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

ステップ 4

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + (y^{3} - y^{2}) + 3 y - 3))$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + y^{2} (y - 1) + 3 (y - 1)))$

ステップ 5

最大公約数 $y - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + (y - 1) (y^{2} + 3)))$

ステップ 6

$y - 1$ を $y^{4} (y - 1) + (y - 1) (y^{2} + 3)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$y - 1$ を $y^{4} (y - 1)$ で因数分解します。

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) y^{4} + (y - 1) (y^{2} + 3)))$

ステップ 6.2

$y - 1$ を $(y - 1) y^{4} + (y - 1) (y^{2} + 3)$ で因数分解します。

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)))$

ステップ 7

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

不要な括弧を削除します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

不要な括弧を削除します。

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)))$

ステップ 7.1.2

不要な括弧を削除します。

$15 y^{2} ((y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3))$

ステップ 7.2

不要な括弧を削除します。

$15 y^{2} (y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)$

代数学準備 例

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