代数学準備例

$\frac{3 z - 7}{z^{2} - 4 z - 32} - \frac{z + 8}{z^{2} - 16}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $z^{2} - 4 z - 32$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 32$ で、その和が $- 4$ です。

$- 8, 4$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{z^{2} - 16}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{z^{2} - 4^{2}}$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = 4$ です。

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$

ステップ 2

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{z - 4}{z - 4}$ を掛けます。

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} \cdot \frac{z - 4}{z - 4} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$

ステップ 3

$- \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{z - 8}{z - 8}$ を掛けます。

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} \cdot \frac{z - 4}{z - 4} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(z - 8) (z + 4) (z - 4)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)}$ に $\frac{z - 4}{z - 4}$ をかけます。

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z - 8) (z + 4) (z - 4)} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8}$

ステップ 4.2

$\frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$ に $\frac{z - 8}{z - 8}$ をかけます。

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z - 8) (z + 4) (z - 4)} - \frac{(z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 4.3

$(z - 8) (z + 4) (z - 4)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)} - \frac{(z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(3 z - 7) (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(3 z - 7) (z - 4)$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 z (z - 4) - 7 (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 - 7 (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

指数を足して $z$ に $z$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1.1.1

$z$ を移動させます。

$\frac{3 (z \cdot z) + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.2.1.1.2

$z$ に $z$ をかけます。

$\frac{3 z^{2} + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.2.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 z^{2} - 12 z - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.2.1.3

$- 7$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{3 z^{2} - 12 z - 7 z + 28 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.2.2

$- 12 z$ から $7 z$ を引きます。

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 + (- z - 1 \cdot 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.4

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 + (- z - 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- z - 8) (z - 8)$ を展開します。

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ステップ 6.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z (z - 8) - 8 (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z \cdot z - z \cdot - 8 - 8 (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z \cdot z - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.6.1.1

指数を足して $z$ に $z$ を掛けます。

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ステップ 6.6.1.1.1

$z$ を移動させます。

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - (z \cdot z) - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.6.1.1.2

$z$ に $z$ をかけます。

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.6.1.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 8 z - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.6.1.3

$- 8$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 8 z - 8 z + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.6.2

$8 z$ から $8 z$ を引きます。

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 0 + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.6.3

$- z^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.7

$3 z^{2}$ から $z^{2}$ を引きます。

$\frac{2 z^{2} - 19 z + 28 + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

ステップ 6.8

$28$ と $64$ をたし算します。

$\frac{2 z^{2} - 19 z + 92}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

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