代数学準備例

$\frac{x - 4}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $5$ です。

$2, 3$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2^{2}}$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 2

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2}{x - 2}$ を掛けます。

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3

$\frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 2) (x + 3) (x - 2)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)}$ に $\frac{x - 2}{x - 2}$ をかけます。

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

ステップ 4.2

$\frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)}$

ステップ 4.3

$(x + 2) (x - 2) (x + 3)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x - 4) (x - 2) + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x - 2) - 4 (x - 2) + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 (x - 2) + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 2 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.2.1.3

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 4 x + 8 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.2.2

$- 2 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x + 3)$ を展開します。

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ステップ 6.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x (x + 3) - 1 (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.4.1.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.4.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 3 x - x - 1 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.4.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 3 x - x - 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.4.2

$3 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 2 x - 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.5

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 8 + 2 x - 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.6

$- 6 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 8 - 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

ステップ 6.7

$8$ から $3$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

代数学準備 例

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