代数学準備例

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} < \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ を引きます。

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16} < 0$

ステップ 2

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 4^{2}} < 0$

ステップ 2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.2

$\frac{x + 1}{x - 4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 4}{x + 4}$ を掛けます。

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.3

$\frac{x - 2}{x + 4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 4}{x - 4}$ を掛けます。

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 4) (x + 4)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.4.1

$\frac{x + 1}{x - 4}$ に $\frac{x + 4}{x + 4}$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.4.2

$\frac{x - 2}{x + 4}$ に $\frac{x - 4}{x - 4}$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.4.3

$(x - 4) (x + 4)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x + 4) + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.2.1.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.2.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.2.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.2.2

$4 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x (x - 4) - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.4.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.4.1.3

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 x - 2 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.4.2

$- 4 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.5

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.6

簡約します。

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ステップ 2.7.6.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.7.6.2

$- 1$ に $32$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.8

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.9

$2 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.10

$5 x$ から $6 x$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} - x + 4 + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.11

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 4 + 8 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.12

$4$ と $8$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 12 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.13

$12$ から $32$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.14

分子を簡約します。

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ステップ 2.14.1

$2$ を $4 x^{2} - 2 x - 20$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2}) - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.14.1.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.14.1.3

$2$ を $- 20$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.14.1.4

$2$ を $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.14.1.5

$2$ を $2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.14.2

群による因数分解。

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ステップ 2.14.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.14.2.1.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2} - (x) - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.14.2.1.2

$- 1$ を $4$ プラス $- 5$ に書き換える

$\frac{2 (2 x^{2} + (4 - 5) x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.14.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.14.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.14.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{2 ((2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.14.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{2 (2 x (x + 2) - 5 (x + 2))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 2.14.2.3

最大公約数 $x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{2 ((x + 2) (2 x - 5))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 5

方程式の両辺に $5$ を足します。

$2 x = 5$

ステップ 6

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{2}$

ステップ 7

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 8

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 9

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 2$

$x = \frac{5}{2}$

$x = - 4$

$x = 4$

ステップ 10

解をまとめます。

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

ステップ 11

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 11.1

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(x + 4) (x - 4) = 0$

ステップ 11.2

$x$ について解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 11.2.2

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.2.2.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 11.2.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 11.2.3

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.2.3.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 11.2.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 11.2.4

最終解は $(x + 4) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, 4$

ステップ 11.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 12

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

ステップ 13

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 13.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 13.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{(- 6) + 1}{(- 6) - 4} + \frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} < \frac{- 2 {(- 6)}^{2} - 6 + 32}{{(- 6)}^{2} - 16}$

ステップ 13.1.3

左辺 $4.5$ は右辺 $- 2.3$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 13.2

区間 $- 4 < x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 13.2.1

区間 $- 4 < x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 13.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$\frac{(- 3) + 1}{(- 3) - 4} + \frac{(- 3) - 2}{(- 3) + 4} < \frac{- 2 {(- 3)}^{2} - 3 + 32}{{(- 3)}^{2} - 16}$

ステップ 13.2.3

左辺 $- 4.\overline{714285}$ は右辺 $- 1.\overline{571428}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 13.3

区間 $- 2 < x < \frac{5}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 13.3.1

区間 $- 2 < x < \frac{5}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 13.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 1}{(0) - 4} + \frac{(0) - 2}{(0) + 4} < \frac{- 2 {(0)}^{2} + 0 + 32}{{(0)}^{2} - 16}$

ステップ 13.3.3

左辺 $- 0.75$ は右辺 $- 2$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 13.4

区間 $\frac{5}{2} < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 13.4.1

区間 $\frac{5}{2} < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 13.4.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\frac{(3) + 1}{(3) - 4} + \frac{(3) - 2}{(3) + 4} < \frac{- 2 {(3)}^{2} + 3 + 32}{{(3)}^{2} - 16}$

ステップ 13.4.3

左辺 $- 3.\overline{857142}$ は右辺 $- 2.\overline{428571}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 13.5

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 13.5.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 13.5.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{(6) + 1}{(6) - 4} + \frac{(6) - 2}{(6) + 4} < \frac{- 2 {(6)}^{2} + 6 + 32}{{(6)}^{2} - 16}$

ステップ 13.5.3

左辺 $3.9$ は右辺 $- 1.7$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 13.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 2$ 真

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ 偽

$\frac{5}{2} < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 2$ 真

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ 偽

$\frac{5}{2} < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 14

解はすべての真の区間からなります。

$- 4 < x < - 2$ または $\frac{5}{2} < x < 4$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 4 < x < - 2 or \frac{5}{2} < x < 4$

区間記号：

$(- 4, - 2) \cup (\frac{5}{2}, 4)$

ステップ 16

代数学準備 例

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