代数学準備例

Add:

\frac{x}{x^{2} + 7 x + 12} + \frac{4}{x^{2} - 16}

$\frac{x}{x^{2} + 7 x + 12} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して

x^{2} + 7 x + 12

$x^{2} + 7 x + 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が

c

$c$ で和が

b

$b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が

12

$12$ で、その和が

7

$7$ です。

3, 4

$3, 4$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 16}

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 16}

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

16

$16$ を

4^{2}

$4^{2}$ に書き換えます。

\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 4^{2}}

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 4^{2}}$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

a = x

$a = x$ であり、

b = 4

$b = 4$ です。

\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

ステップ 2

\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{x - 4}{x - 4}

$\frac{x - 4}{x - 4}$ を掛けます。

\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

ステップ 3

\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}

$\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{x + 3}{x + 3}

$\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

ステップ 4

1

$1$ の適した因数を掛けて、各式を

(x + 3) (x + 4) (x - 4)

$(x + 3) (x + 4) (x - 4)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ に

\frac{x - 4}{x - 4}

$\frac{x - 4}{x - 4}$ をかけます。

\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

ステップ 4.2

\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}

$\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ に

\frac{x + 3}{x + 3}

$\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 4) (x - 4) (x + 3)}

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 4) (x - 4) (x + 3)}$

ステップ 4.3

(x + 4) (x - 4) (x + 3)

$(x + 4) (x - 4) (x + 3)$ の因数を並べ替えます。

\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

\frac{x (x - 4) + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}

$\frac{x (x - 4) + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.2

x

$x$ に

x

$x$ をかけます。

\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.3

- 4

$- 4$ を

x

$x$ の左に移動させます。

\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.5

4

$4$ に

3

$3$ をかけます。

\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.6

- 4 x

$- 4 x$ と

4 x

$4 x$ をたし算します。

\frac{x^{2} + 0 + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}

$\frac{x^{2} + 0 + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.7

x^{2}

$x^{2}$ と

0

$0$ をたし算します。

\frac{x^{2} + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}

$\frac{x^{2} + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

\frac{x^{2} + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}

$\frac{x^{2} + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

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