代数学準備例

Add: $\frac{x}{x^{2} + 7 x + 12} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 7 x + 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $7$ です。

$3, 4$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 4^{2}}$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

ステップ 2

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 4}{x - 4}$ を掛けます。

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

ステップ 3

$\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 3) (x + 4) (x - 4)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ に $\frac{x - 4}{x - 4}$ をかけます。

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

ステップ 4.2

$\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 4) (x - 4) (x + 3)}$

ステップ 4.3

$(x + 4) (x - 4) (x + 3)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (x - 4) + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.3

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.5

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.6

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 0 + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 6.7

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

代数学準備 例

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