代数学準備例

$\frac{r}{r^{2} - 4} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{r}{r^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = r$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $r^{2} - 6 r + 8$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $- 6$ です。

$- 4, - 2$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

ステップ 2

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{r - 4}{r - 4}$ を掛けます。

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

ステップ 3

$\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{r + 2}{r + 2}$ を掛けます。

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(r + 2) (r - 2) (r - 4)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ に $\frac{r - 4}{r - 4}$ をかけます。

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ に $\frac{r + 2}{r + 2}$ をかけます。

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r - 4) (r - 2) (r + 2)}$

ステップ 4.3

$(r - 4) (r - 2) (r + 2)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{r (r - 4) + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{r \cdot r + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

ステップ 6.2

$r$ に $r$ をかけます。

$\frac{r^{2} + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

ステップ 6.3

$- 4$ を $r$ の左に移動させます。

$\frac{r^{2} - 4 \cdot r + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

ステップ 6.4

$- 4 r$ と $r$ をたし算します。

$\frac{r^{2} - 3 r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

ステップ 6.5

たすき掛けを利用して $r^{2} - 3 r + 2$ を因数分解します。

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ステップ 6.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $- 3$ です。

$- 2, - 1$

ステップ 6.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

ステップ 7

$r - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\frac{r - 1}{(r + 2) (r - 4)}$

代数学準備 例

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