代数学準備例

$\frac{3}{x^{2} + 2 x - 15} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 25}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $2$ です。

$- 3, 5$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 25}$

ステップ 1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

ステップ 1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 1.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

ステップ 1.2.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 2

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 5}{x + 5}$ を掛けます。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 3

$- \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 3}{x - 3}$ を掛けます。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 3) {(x + 5)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)}$ に $\frac{x + 5}{x + 5}$ をかけます。

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) (x + 5) (x + 5)} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

ステップ 4.2

$x + 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) ({(x + 5)}^{1} (x + 5))} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

ステップ 4.3

$x + 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{1 + 1}} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{2}} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

ステップ 4.6

$\frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$ に $\frac{x - 3}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{2}} - \frac{4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 4.7

$(x - 3) {(x + 5)}^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 (x + 5)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)} - \frac{4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 (x + 5) - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 3 \cdot 5 - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{3 x + 15 - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 15 - 4 x - 4 \cdot - 3}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.4

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{3 x + 15 - 4 x + 12}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.5

$3 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{- x + 15 + 12}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.6

$15$ と $12$ をたし算します。

$\frac{- x + 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 7

くくりだして簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) + 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 7.2

$27$ を $- 1 (- 27)$ に書き換えます。

$\frac{- (x) - 1 (- 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 7.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 27)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 7.4

式を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$- (x - 27)$ を $- 1 (x - 27)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 7.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x - 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

代数学準備 例

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