代数学準備例

$\frac{5 x}{2 x^{2} + 5 x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

群による因数分解。

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ステップ 1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ で和が $b = 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.1.1

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$\frac{5 x}{2 x^{2} + 5 (x) - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 1.1.1.2

$5$ を $- 1$ プラス $6$ に書き換える

$\frac{5 x}{2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{5 x}{2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{5 x}{(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{5 x}{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 1.1.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9}$

ステップ 1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} - \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 3^{2}}$

ステップ 1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 1.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} - \frac{2 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

ステップ 1.2.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3

$- \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ を掛けます。

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(2 x - 1) {(x + 3)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{5 x}{(2 x - 1) (x + 3)}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) (x + 3) (x + 3)} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

ステップ 4.2

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) ({(x + 3)}^{1} (x + 3))} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

ステップ 4.3

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1})} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) {(x + 3)}^{1 + 1}} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) {(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

ステップ 4.6

$\frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}}$ に $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ をかけます。

$\frac{5 x (x + 3)}{(2 x - 1) {(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x (2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 4.7

$(2 x - 1) {(x + 3)}^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{5 x (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)} - \frac{2 x (2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 x (x + 3) - 2 x (2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$x$ を $5 x (x + 3) - 2 x (2 x - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$x$ を $5 x (x + 3)$ で因数分解します。

$\frac{x (5 (x + 3)) - 2 x (2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 6.1.2

$x$ を $- 2 x (2 x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{x (5 (x + 3)) + x (- 2 (2 x - 1))}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 6.1.3

$x$ を $x (5 (x + 3)) + x (- 2 (2 x - 1))$ で因数分解します。

$\frac{x (5 (x + 3) - 2 (2 x - 1))}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (5 x + 5 \cdot 3 - 2 (2 x - 1))}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 6.3

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{x (5 x + 15 - 2 (2 x - 1))}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x (5 x + 15 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 6.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x (5 x + 15 - 4 x - 2 \cdot - 1)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 6.6

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x (5 x + 15 - 4 x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 6.7

$5 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{x (x + 15 + 2)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

ステップ 6.8

$15$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x (x + 17)}{{(x + 3)}^{2} (2 x - 1)}$

代数学準備 例

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