代数学準備例

$\frac{x + 1}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x + 1}{x^{2} + 6 x + 3^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 1.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$

ステップ 1.1.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 3^{2}}$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 2

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 3}{x - 3}$ を掛けます。

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 3

$\frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 3) {(x + 3)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}}$ に $\frac{x - 3}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

ステップ 4.2

$\frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x + 3)}$

ステップ 4.3

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} (x + 3) (x - 3)}$

ステップ 4.4

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1} (x - 3)}$

ステップ 4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3)}$

ステップ 4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 1) (x - 3) + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 3)$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x - 3) + 1 (x - 3) + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3) + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.2.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.2.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.2.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x + x - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.2.2

$- 3 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x + 3)$ を展開します。

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ステップ 6.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x (x + 3) - 4 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 4 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x^{2} + x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.4.1.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x^{2} + 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.4.1.3

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x^{2} + 3 x - 4 x - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.4.2

$3 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x^{2} - x - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.5

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 3 - x - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.6

$- 2 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 3 - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

ステップ 6.7

$- 3$ から $12$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 15}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

代数学準備 例

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