代数学準備例

\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 25} + \frac{x - 1}{x + 5}

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 25} + \frac{x - 1}{x + 5}$

ステップ 1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1

25

$25$ を

5^{2}

$5^{2}$ に書き換えます。

\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 5^{2}} + \frac{x - 1}{x + 5}

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 5^{2}} + \frac{x - 1}{x + 5}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

a = x

$a = x$ であり、

b = 5

$b = 5$ です。

\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5}

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5}$

ステップ 2

$\frac{x - 1}{x + 5}$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{x - 5}{x - 5}$ を掛けます。

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{x - 1}{x + 5}$ に

$\frac{x - 5}{x - 5}$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{(x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + (x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って

$(x - 1) (x - 5)$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x (x - 5) - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$x$ に

$x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.2.1.2

$- 5$ を

$x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.2.1.3

$- 1 x$ を

$- x$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.2.1.4

$- 1$ に

$- 5$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.2.2

$- 5 x$ から

$x$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.3

$x^{2}$ と

$x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 20 - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.4

$13 x$ から

$6 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 20 + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.5

$- 20$ と

$5$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.6

群による因数分解。

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ステップ 4.6.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が

$a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ で和が

$b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.6.1.1

$7$ を

$7 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} + 7 (x) - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.6.1.2

$7$ を

$- 3$ プラス

$10$ に書き換える

$\frac{2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.6.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.6.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 4.6.3

最大公約数

$2 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 5

$x + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

ステップ 5.2

式を書き換えます。

$\frac{2 x - 3}{x - 5}$

代数学準備 例

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