代数学準備例

$\frac{3 x - 5}{x^{2} + 3 x + 2} + \frac{x}{x + 2}$

ステップ 1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x + 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $3$ です。

$1, 2$

ステップ 1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{3 x - 5}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{x}{x + 2}$

ステップ 2

$\frac{x}{x + 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{3 x - 5}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

ステップ 3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 1) (x + 2)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.1

$\frac{x}{x + 2}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{3 x - 5}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{x (x + 1)}{(x + 2) (x + 1)}$

ステップ 3.2

$(x + 2) (x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 x - 5}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)}$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x - 5 + x (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)}$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x - 5 + x \cdot x + x \cdot 1}{(x + 1) (x + 2)}$

ステップ 5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x - 5 + x^{2} + x \cdot 1}{(x + 1) (x + 2)}$

ステップ 5.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x - 5 + x^{2} + x}{(x + 1) (x + 2)}$

ステップ 5.4

$3 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{4 x - 5 + x^{2}}{(x + 1) (x + 2)}$

ステップ 5.5

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} + 4 x - 5}{(x + 1) (x + 2)}$

ステップ 5.6

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 5$ を因数分解します。

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ステップ 5.6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $4$ です。

$- 1, 5$

ステップ 5.6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{(x + 1) (x + 2)}$

代数学準備 例

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