代数学準備例

$\frac{8 x}{x^{2} - 49} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$\frac{8 x}{x^{2} - 7^{2}} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 7$ です。

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} + \frac{5}{x^{2} - 4 x - 21}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x - 21$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 21$ で、その和が $- 4$ です。

$- 7, 3$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$

ステップ 2

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$

ステップ 3

$\frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 7}{x + 7}$ を掛けます。

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 7) (x - 7) (x + 3)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{8 x}{(x + 7) (x - 7)}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 7) (x - 7) (x + 3)} + \frac{5}{(x - 7) (x + 3)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

ステップ 4.2

$\frac{5}{(x - 7) (x + 3)}$ に $\frac{x + 7}{x + 7}$ をかけます。

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 7) (x - 7) (x + 3)} + \frac{5 (x + 7)}{(x - 7) (x + 3) (x + 7)}$

ステップ 4.3

$(x + 7) (x - 7) (x + 3)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)} + \frac{5 (x + 7)}{(x - 7) (x + 3) (x + 7)}$

ステップ 4.4

$(x - 7) (x + 3) (x + 7)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{8 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)} + \frac{5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 x (x + 3) + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x \cdot x + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

ステップ 6.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

ステップ 6.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

ステップ 6.3

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 (x + 7)}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 x + 5 \cdot 7}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

ステップ 6.5

$5$ に $7$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 5 x + 35}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

ステップ 6.6

$24 x$ と $5 x$ をたし算します。

$\frac{8 x^{2} + 29 x + 35}{(x + 3) (x + 7) (x - 7)}$

代数学準備 例

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