代数学準備例

$\frac{x + 8}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x + 8}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 1.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x + 8}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 2^{2}}$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 2

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 2}{x + 2}$ を掛けます。

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3

$\frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2}{x - 2}$ を掛けます。

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 2) {(x - 2)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}}$ に $\frac{x + 2}{x + 2}$ をかけます。

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

ステップ 4.2

$\frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$ に $\frac{x - 2}{x - 2}$ をかけます。

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 2)}$

ステップ 4.3

$x - 2$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}$

ステップ 4.4

$x - 2$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}$

ステップ 4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1}}$

ステップ 4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.7

$(x + 2) {(x - 2)}^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 8) (x + 2) + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 8) (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x + 2) + 8 (x + 2) + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 8 (x + 2) + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.2.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x + 8 x + 8 \cdot 2 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.2.1.3

$8$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 x + 8 x + 16 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.2.2

$2 x$ と $8 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.3

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x - 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 6.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x (x - 2) - 2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.4.1.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} - 6 x - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.4.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} - 6 x - 2 x + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.4.2

$- 6 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} - 8 x + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.5

$x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} + 10 x + 16 - 8 x + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.6

$10 x$ から $8 x$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 16 + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.7

$16$ と $4$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 20}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.8

$2$ を $4 x^{2} + 2 x + 20$ で因数分解します。

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ステップ 6.8.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 x + 20}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.8.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (x) + 20}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.8.3

$2$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 10}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.8.4

$2$ を $2 (2 x^{2}) + 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2} + x) + 2 \cdot 10}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.8.5

$2$ を $2 (2 x^{2} + x) + 2 \cdot 10$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{2} + x + 10)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

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