代数学準備例

\frac{x - 4}{x^{2} - 2 x} + \frac{4}{x^{2} - 4}

$\frac{x - 4}{x^{2} - 2 x} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$x$ を

$x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を

$x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x - 4}{x \cdot x - 2 x} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.2

$x$ を

$- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x - 4}{x \cdot x + x \cdot - 2} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

ステップ 1.1.3

$x$ を

$x \cdot x + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$4$ を

$2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} + \frac{4}{x^{2} - 2^{2}}$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

$a = x$ であり、

$b = 2$ です。

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 2

$\frac{x - 4}{x (x - 2)}$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{x + 2}{x + 2}$ を掛けます。

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を

$x (x - 2) (x + 2)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{x - 4}{x (x - 2)}$ に

$\frac{x + 2}{x + 2}$ をかけます。

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x - 2) (x + 2)} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 4.2

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$ に

$\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x - 2) (x + 2)} + \frac{4 x}{(x + 2) (x - 2) x}$

ステップ 4.3

$x (x - 2) (x + 2)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{4 x}{(x + 2) (x - 2) x}$

ステップ 4.4

$(x + 2) (x - 2) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x - 4) (x + 2) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って

$(x - 4) (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x + 2) - 4 (x + 2) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 4 (x + 2) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 4 x - 4 \cdot 2 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$x$ に

$x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 4 x - 4 \cdot 2 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 6.2.1.2

$2$ を

$x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 4 x - 4 \cdot 2 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 6.2.1.3

$- 4$ に

$2$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 x - 4 x - 8 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 6.2.2

$2 x$ から

$4 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 8 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 6.3

$- 2 x$ と

$4 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 6.4

たすき掛けを利用して

$x^{2} + 2 x - 8$ を因数分解します。

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ステップ 6.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が

$c$ で和が

$b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が

$- 8$ で、その和が

$2$ です。

$- 2, 4$

ステップ 6.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{x (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 7

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{x (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\frac{x + 4}{x (x + 2)}$

代数学準備 例

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