代数学準備例

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 4 x - 5}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$x$ を $x^{2} + 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x \cdot x + 5 x}{x^{2} + 4 x - 5}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $5 x$ で因数分解します。

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x \cdot x + x \cdot 5}{x^{2} + 4 x - 5}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 5$ で因数分解します。

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{x^{2} + 4 x - 5}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 5$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $4$ です。

$- 1, 5$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{(x - 1) (x + 5)}$

ステップ 1.3

$x + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x (x + 5)}{(x - 1) (x + 5)}$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x + 1}{x} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 2

$\frac{x + 1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 3

$\frac{x}{x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{x + 1}{x}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 4.2

$\frac{x}{x - 1}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x \cdot x}{(x - 1) x}$

ステップ 4.3

$(x - 1) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{x \cdot x}{x (x - 1)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 1) (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + x \cdot x}{x (x - 1)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

ステップ 6.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

ステップ 6.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

ステップ 6.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x + x - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

ステップ 6.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 0 - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

ステップ 6.2.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 1 + x \cdot x}{x (x - 1)}$

ステップ 6.3

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 1 + x^{2}}{x (x - 1)}$

ステップ 6.4

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x (x - 1)}$

代数学準備 例

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