線形代数例

$[\begin{array}{c} \cos (x) & - \sin (x) \\ \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

ステップ 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

ステップ 2

Find the determinant.

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ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$\cos (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 2.2.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 2.2.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 2.2.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

ステップ 2.2.1.2

$- \sin (x) (- \sin (x))$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)$

ステップ 2.2.1.2.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)$

ステップ 2.2.1.2.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)$

ステップ 2.2.1.2.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

ステップ 2.2.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}$

ステップ 2.2.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$

ステップ 2.2.2

項を並べ替えます。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 2.2.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1$

ステップ 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

ステップ 5

$1$ を $1$ で割ります。

$1 [\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

ステップ 6

$1$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 1 \cos (x) & 1 \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

ステップ 7

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 7.1

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \cos (x) & 1 \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

ステップ 7.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

ステップ 7.3

$- \sin (x)$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & 1 \cos (x) \end{array}]$

ステップ 7.4

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

線形代数 例

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