線形代数例

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

ステップ 1

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

ステップ 1.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} 0 x - y + 1 z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

ステップ 1.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} - y + z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

ステップ 2

Write as a linear system of equations.

$- y + z = 8$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$z = 8 + y$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

ステップ 3.2

各方程式の $z$ のすべての発生を $8 + y$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 x + 2 y - 5 z = 15$ の $z$ のすべての発生を $8 + y$ で置き換えます。

$2 x + 2 y - 5 (8 + y) = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 x + 2 y - 5 (8 + y)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 x + 2 y - 5 \cdot 8 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$- 5$ に $8$ をかけます。

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

ステップ 3.2.2.1.2

$2 y$ から $5 y$ を引きます。

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

ステップ 3.2.3

$- x - y + 3 z = 23$ の $z$ のすべての発生を $8 + y$ で置き換えます。

$- x - y + 3 (8 + y) = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

ステップ 3.2.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$- x - y + 3 (8 + y)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- x - y + 3 \cdot 8 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

ステップ 3.2.4.1.1.2

$3$ に $8$ をかけます。

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

ステップ 3.2.4.1.2

$- y$ と $3 y$ をたし算します。

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

ステップ 3.3

$8$ と $y$ を並べ替えます。

$z = y + 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

ステップ 3.4

$z = y + 8$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式を $y + 8 = z$ として書き換えます。

$y + 8 = z$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

ステップ 3.5

各方程式の $y$ のすべての発生を $z - 8$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- x + 2 y + 24 = 23$ の $y$ のすべての発生を $z - 8$ で置き換えます。

$- x + 2 (z - 8) + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$- x + 2 (z - 8) + 24$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- x + 2 z + 2 \cdot - 8 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

ステップ 3.5.2.1.1.2

$2$ に $- 8$ をかけます。

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

ステップ 3.5.2.1.2

$- 16$ と $24$ をたし算します。

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

ステップ 3.5.3

$2 x - 3 y - 40 = 15$ の $y$ のすべての発生を $z - 8$ で置き換えます。

$2 x - 3 (z - 8) - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

ステップ 3.5.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$2 x - 3 (z - 8) - 40$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 x - 3 z - 3 \cdot - 8 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

ステップ 3.5.4.1.1.2

$- 3$ に $- 8$ をかけます。

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

ステップ 3.5.4.1.2

$24$ から $40$ を引きます。

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

ステップ 3.6

$2 x - 3 z - 16 = 15$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

方程式の両辺に $3 z$ を足します。

$2 x - 16 = 15 + 3 z$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

ステップ 3.6.1.2

方程式の両辺に $16$ を足します。

$2 x = 15 + 3 z + 16$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

ステップ 3.6.1.3

$15$ と $16$ をたし算します。

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

ステップ 3.6.2

$2 x = 3 z + 31$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$2 x = 3 z + 31$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

ステップ 3.6.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

ステップ 3.6.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

ステップ 3.7

各方程式の $x$ のすべての発生を $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- x + 2 z + 8 = 23$ の $x$ のすべての発生を $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ で置き換えます。

$- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

$- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{3 z}{2} - \frac{31}{2} + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.7.2.1.2

$2 z$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{3 z}{2} + 2 z \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.7.2.1.3

$2 z$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{3 z}{2} + \frac{2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.7.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 z + 2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.7.2.1.5

公分母の分子をまとめます。

$8 + \frac{- 3 z + 2 z \cdot 2 - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.7.2.1.6

$2$ に $2$ をかけます。

$8 + \frac{- 3 z + 4 z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.7.2.1.7

$- 3 z$ と $4 z$ をたし算します。

$8 + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.7.2.1.8

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.7.2.1.9

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1.9.1

$8$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.7.2.1.9.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.7.2.1.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1.10.1

$8$ に $2$ をかけます。

$\frac{16 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.7.2.1.10.2

$16$ から $31$ を引きます。

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.8

$\frac{z - 15}{2} = 23$ の $z$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.8.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.8.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.2.1

$2$ に $23$ をかけます。

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.8.3

$z$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1

方程式の両辺に $15$ を足します。

$z = 46 + 15$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.8.3.2

$46$ と $15$ をたし算します。

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

ステップ 3.9

各方程式の $z$ のすべての発生を $61$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ の $z$ のすべての発生を $61$ で置き換えます。

$x = \frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

ステップ 3.9.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.1

$\frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.1.1

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{3 (61) + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

ステップ 3.9.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.2.1.2.1

$3$ に $61$ をかけます。

$x = \frac{183 + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

ステップ 3.9.2.1.2.2

$183$ と $31$ をたし算します。

$x = \frac{214}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

ステップ 3.9.2.1.2.3

$214$ を $2$ で割ります。

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

ステップ 3.9.3

$y = z - 8$ の $z$ のすべての発生を $61$ で置き換えます。

$y = (61) - 8$

$x = 107$

$z = 61$

ステップ 3.9.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.4.1

$61$ から $8$ を引きます。

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

ステップ 3.10

すべての解をまとめます。

$y = 53, x = 107, z = 61$

線形代数 例

線形代数例