線形代数例

$3 x - 2 y + z = 7$ , $2 x + 3 y - 2 z = 11$ , $- \frac{x}{3} + \frac{2}{9} y - \frac{z}{9} = \frac{4}{3}$

Step 1

連立方程式から $A X = B$ を求めます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 1 \\ 2 & 3 & - 2 \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{9} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ 11 \\ \frac{4}{3} \end{array}]$

Step 2

係数行列の逆を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

同じ大きさの2つに分割した行列を設定します。左側には、元の行列の元を入れます。右側には単位行列の元を入れます。逆行列を求めるために行演算を利用し左辺を単位行列に変換します。これが終わると、元の行列の逆行列は、2重行列の右側になります。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{9} & - \frac{1}{9} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1}$ （行 $1$ ）で行演算 $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ を実行し、行の一部の要素を $1$ に変えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$R_{1}$ （行 $1$ ）を行演算 $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ で置き換え、行の元を行の一部の元を $1$ に変えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} \\ 2 & 3 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{9} & - \frac{1}{9} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$

$R_{1}$ （行 $1$ ）を行演算 $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ の元の実数で置き換えます。

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{3}) \cdot (3) & (\frac{1}{3}) \cdot (- 2) & (\frac{1}{3}) \cdot (1) & (\frac{1}{3}) \cdot (1) & (\frac{1}{3}) \cdot (0) & (\frac{1}{3}) \cdot (0) \\ 2 & 3 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{9} & - \frac{1}{9} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$

$R_{1}$ （行 $1$ ）を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 2 & 3 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{9} & - \frac{1}{9} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2}$ （行 $2$ ）で行演算 $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ を実行し、行の一部の要素を $0$ に変えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$R_{2}$ （行 $2$ ）を行演算 $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ で置き換え、行の元を行の一部の元を $0$ に変えます。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{9} & - \frac{1}{9} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ （行 $2$ ）を行演算 $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ の元の実数で置き換えます。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (- \frac{2}{3}) + 3 & (- 2) \cdot (\frac{1}{3}) - 2 & (- 2) \cdot (\frac{1}{3}) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 1 & (- 2) \cdot (0) + 0 \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{9} & - \frac{1}{9} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ （行 $2$ ）を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{13}{3} & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{9} & - \frac{1}{9} & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{3}$ （行 $3$ ）で行演算 $R_{3} = \frac{1}{3} R_{1} + R_{3}$ を実行し、行の一部の要素を $0$ に変えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$R_{3}$ （行 $3$ ）を行演算 $R_{3} = \frac{1}{3} R_{1} + R_{3}$ で置き換え、行の元を行の一部の元を $0$ に変えます。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{13}{3} & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ \frac{1}{3} R_{1} + R_{3} & \frac{1}{3} R_{1} + R_{3} & \frac{1}{3} R_{1} + R_{3} & \frac{1}{3} R_{1} + R_{3} & \frac{1}{3} R_{1} + R_{3} & \frac{1}{3} R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{3} R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ （行 $3$ ）を行演算 $R_{3} = \frac{1}{3} R_{1} + R_{3}$ の元の実数で置き換えます。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{13}{3} & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ (\frac{1}{3}) \cdot (1) - \frac{1}{3} & (\frac{1}{3}) \cdot (- \frac{2}{3}) + \frac{2}{9} & (\frac{1}{3}) \cdot (\frac{1}{3}) - \frac{1}{9} & (\frac{1}{3}) \cdot (\frac{1}{3}) + 0 & (\frac{1}{3}) \cdot (0) + 0 & (\frac{1}{3}) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{3} R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ （行 $3$ ）を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{13}{3} & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{9} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2}$ （行 $2$ ）で行演算 $R_{2} = \frac{3}{13} R_{2}$ を実行し、行の一部の要素を $1$ に変えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$R_{2}$ （行 $2$ ）を行演算 $R_{2} = \frac{3}{13} R_{2}$ で置き換え、行の元を行の一部の元を $1$ に変えます。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{3}{13} R_{2} & \frac{3}{13} R_{2} & \frac{3}{13} R_{2} & \frac{3}{13} R_{2} & \frac{3}{13} R_{2} & \frac{3}{13} R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{9} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{3}{13} R_{2}$

$R_{2}$ （行 $2$ ）を行演算 $R_{2} = \frac{3}{13} R_{2}$ の元の実数で置き換えます。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ (\frac{3}{13}) \cdot (0) & (\frac{3}{13}) \cdot (\frac{13}{3}) & (\frac{3}{13}) \cdot (- \frac{8}{3}) & (\frac{3}{13}) \cdot (- \frac{2}{3}) & (\frac{3}{13}) \cdot (1) & (\frac{3}{13}) \cdot (0) \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{9} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{3}{13} R_{2}$

$R_{2}$ （行 $2$ ）を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{8}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{3}{13} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{9} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1}$ （行 $1$ ）で行演算 $R_{1} = \frac{2}{3} R_{2} + R_{1}$ を実行し、行の一部の要素を $0$ に変えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$R_{1}$ （行 $1$ ）を行演算 $R_{1} = \frac{2}{3} R_{2} + R_{1}$ で置き換え、行の元を行の一部の元を $0$ に変えます。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} R_{2} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{2} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{2} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{2} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{2} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & - \frac{8}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{3}{13} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{9} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ （行 $1$ ）を行演算 $R_{1} = \frac{2}{3} R_{2} + R_{1}$ の元の実数で置き換えます。

$[\begin{array}{c} (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 1 & (\frac{2}{3}) \cdot (1) - \frac{2}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (- \frac{8}{13}) + \frac{1}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (- \frac{2}{13}) + \frac{1}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{3}{13}) + 0 & (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 1 & - \frac{8}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{3}{13} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{9} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ （行 $1$ ）を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{13} & \frac{3}{13} & \frac{2}{13} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{8}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{3}{13} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{9} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{3}$ （行 $3$ ）で行演算 $R_{3} = 9 \cdot R_{3}$ を実行し、行の一部の要素を $1$ に変えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$R_{3}$ （行 $3$ ）を行演算 $R_{3} = 9 \cdot R_{3}$ で置き換え、行の元を行の一部の元を $1$ に変えます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{13} & \frac{3}{13} & \frac{2}{13} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{8}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{3}{13} & 0 \\ 9 \cdot R_{3} & 9 \cdot R_{3} & 9 \cdot R_{3} & 9 \cdot R_{3} & 9 \cdot R_{3} & 9 \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 9 \cdot R_{3}$

$R_{3}$ （行 $3$ ）を行演算 $R_{3} = 9 \cdot R_{3}$ の元の実数で置き換えます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{13} & \frac{3}{13} & \frac{2}{13} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{8}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{3}{13} & 0 \\ (9) \cdot (0) & (9) \cdot (0) & (9) \cdot (0) & (9) \cdot (\frac{1}{9}) & (9) \cdot (0) & (9) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = 9 \cdot R_{3}$

$R_{3}$ （行 $3$ ）を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{13} & \frac{3}{13} & \frac{2}{13} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{8}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{3}{13} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 9 \end{array}]$

$R_{1}$ （行 $1$ ）で行演算 $R_{1} = - \frac{3}{13} R_{3} + R_{1}$ を実行し、行の一部の要素を $0$ に変えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$R_{1}$ （行 $1$ ）を行演算 $R_{1} = - \frac{3}{13} R_{3} + R_{1}$ で置き換え、行の元を行の一部の元を $0$ に変えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{13} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{13} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{13} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{13} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{13} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{13} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & - \frac{8}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{3}{13} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 9 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3}{13} R_{3} + R_{1}$

$R_{1}$ （行 $1$ ）を行演算 $R_{1} = - \frac{3}{13} R_{3} + R_{1}$ の元の実数で置き換えます。

$[\begin{array}{c} (- \frac{3}{13}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{3}{13}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{3}{13}) \cdot (0) - \frac{1}{13} & (- \frac{3}{13}) \cdot (1) + \frac{3}{13} & (- \frac{3}{13}) \cdot (0) + \frac{2}{13} & (- \frac{3}{13}) \cdot (9) + 0 \\ 0 & 1 & - \frac{8}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{3}{13} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 9 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3}{13} R_{3} + R_{1}$

$R_{1}$ （行 $1$ ）を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{13} & 0 & \frac{2}{13} & - \frac{27}{13} \\ 0 & 1 & - \frac{8}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{3}{13} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 9 \end{array}]$

$R_{2}$ （行 $2$ ）で行演算 $R_{2} = \frac{2}{13} R_{3} + R_{2}$ を実行し、行の一部の要素を $0$ に変えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$R_{2}$ （行 $2$ ）を行演算 $R_{2} = \frac{2}{13} R_{3} + R_{2}$ で置き換え、行の元を行の一部の元を $0$ に変えます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{13} & 0 & \frac{2}{13} & - \frac{27}{13} \\ \frac{2}{13} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{13} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{13} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{13} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{13} R_{3} + R_{2} & \frac{2}{13} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 9 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{13} R_{3} + R_{2}$

$R_{2}$ （行 $2$ ）を行演算 $R_{2} = \frac{2}{13} R_{3} + R_{2}$ の元の実数で置き換えます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{13} & 0 & \frac{2}{13} & - \frac{27}{13} \\ (\frac{2}{13}) \cdot (0) + 0 & (\frac{2}{13}) \cdot (0) + 1 & (\frac{2}{13}) \cdot (0) - \frac{8}{13} & (\frac{2}{13}) \cdot (1) - \frac{2}{13} & (\frac{2}{13}) \cdot (0) + \frac{3}{13} & (\frac{2}{13}) \cdot (9) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 9 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{13} R_{3} + R_{2}$

$R_{2}$ （行 $2$ ）を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{13} & 0 & \frac{2}{13} & - \frac{27}{13} \\ 0 & 1 & - \frac{8}{13} & 0 & \frac{3}{13} & \frac{18}{13} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 9 \end{array}]$

行列の行列式が0なので、逆はありません。

逆がありません

Step 3

行列に逆行列がないので、逆行列を利用して解くことができません。

解がありません

線形代数 例

線形代数例