線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]$

ステップ 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

ステップ 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 2.1.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.1.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1.1

$4$ に $3$ をかけます。

$a_{11} = 12 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.1.2.2.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$a_{11} = 12 - 2$

ステップ 2.1.2.2.2

$12$ から $2$ を引きます。

$a_{11} = 10$

ステップ 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 2.2.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{12} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

$2$ に $3$ をかけます。

$a_{12} = 6 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$a_{12} = 6 - 1$

ステップ 2.2.2.2.2

$6$ から $1$ を引きます。

$a_{12} = 5$

ステップ 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.3.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{13} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4$

ステップ 2.3.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$a_{13} = 4 - 1 \cdot 4$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$a_{13} = 4 - 4$

ステップ 2.3.2.2.2

$4$ から $4$ を引きます。

$a_{13} = 0$

ステップ 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 2.4.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{21} = 3 \cdot 3 - 2 \cdot 4$

ステップ 2.4.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$a_{21} = 9 - 2 \cdot 4$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$- 2$ に $4$ をかけます。

$a_{21} = 9 - 8$

ステップ 2.4.2.2.2

$9$ から $8$ を引きます。

$a_{21} = 1$

ステップ 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 2.5.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{22} = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

ステップ 2.5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$a_{22} = 3 - 1 \cdot 4$

ステップ 2.5.2.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$a_{22} = 3 - 4$

ステップ 2.5.2.2.2

$3$ から $4$ を引きます。

$a_{22} = - 1$

ステップ 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.6.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{23} = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3$

ステップ 2.6.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$a_{23} = 2 - 1 \cdot 3$

ステップ 2.6.2.2.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$a_{23} = 2 - 3$

ステップ 2.6.2.2.2

$2$ から $3$ を引きます。

$a_{23} = - 1$

ステップ 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 4 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.7.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{31} = 3 \cdot 1 - 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$a_{31} = 3 - 4 \cdot 4$

ステップ 2.7.2.2.1.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$a_{31} = 3 - 16$

ステップ 2.7.2.2.2

$3$ から $16$ を引きます。

$a_{31} = - 13$

ステップ 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.8.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{32} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 4$

ステップ 2.8.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$a_{32} = 1 - 2 \cdot 4$

ステップ 2.8.2.2.1.2

$- 2$ に $4$ をかけます。

$a_{32} = 1 - 8$

ステップ 2.8.2.2.2

$1$ から $8$ を引きます。

$a_{32} = - 7$

ステップ 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 2.9.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{33} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3$

ステップ 2.9.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1.1

$4$ に $1$ をかけます。

$a_{33} = 4 - 2 \cdot 3$

ステップ 2.9.2.2.1.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$a_{33} = 4 - 6$

ステップ 2.9.2.2.2

$4$ から $6$ を引きます。

$a_{33} = - 2$

ステップ 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 10 & - 5 & 0 \\ - 1 & - 1 & 1 \\ - 13 & 7 & - 2 \end{array}]$

ステップ 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 10 & - 1 & - 13 \\ - 5 & - 1 & 7 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例