線形代数例

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & - 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & - 7 & 6 \end{array}]$

ステップ 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

ステップ 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 7 & 6 \end{array} |$

ステップ 2.1.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{11} = 3 \cdot 6 - (- 7 \cdot 4)$

ステップ 2.1.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1.1

$3$ に $6$ をかけます。

$a_{11} = 18 - (- 7 \cdot 4)$

ステップ 2.1.2.2.1.2

$- (- 7 \cdot 4)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1.2.1

$- 7$ に $4$ をかけます。

$a_{11} = 18 - - 28$

ステップ 2.1.2.2.1.2.2

$- 1$ に $- 28$ をかけます。

$a_{11} = 18 + 28$

ステップ 2.1.2.2.2

$18$ と $28$ をたし算します。

$a_{11} = 46$

ステップ 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} |$

ステップ 2.2.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{12} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 4$

ステップ 2.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

$2$ に $6$ をかけます。

$a_{12} = 12 - 5 \cdot 4$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$- 5$ に $4$ をかけます。

$a_{12} = 12 - 20$

ステップ 2.2.2.2.2

$12$ から $20$ を引きます。

$a_{12} = - 8$

ステップ 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & - 7 \end{array} |$

ステップ 2.3.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{13} = 2 \cdot - 7 - 5 \cdot 3$

ステップ 2.3.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1.1

$2$ に $- 7$ をかけます。

$a_{13} = - 14 - 5 \cdot 3$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$- 5$ に $3$ をかけます。

$a_{13} = - 14 - 15$

ステップ 2.3.2.2.2

$- 14$ から $15$ を引きます。

$a_{13} = - 29$

ステップ 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 \\ - 7 & 6 \end{array} |$

ステップ 2.4.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{21} = 0 \cdot 6 - (- 7 \cdot - 2)$

ステップ 2.4.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

$0$ に $6$ をかけます。

$a_{21} = 0 - (- 7 \cdot - 2)$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$- (- 7 \cdot - 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.2.1

$- 7$ に $- 2$ をかけます。

$a_{21} = 0 - 1 \cdot 14$

ステップ 2.4.2.2.1.2.2

$- 1$ に $14$ をかけます。

$a_{21} = 0 - 14$

ステップ 2.4.2.2.2

$0$ から $14$ を引きます。

$a_{21} = - 14$

ステップ 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 5 & 6 \end{array} |$

ステップ 2.5.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{22} = 4 \cdot 6 - 5 \cdot - 2$

ステップ 2.5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1.1

$4$ に $6$ をかけます。

$a_{22} = 24 - 5 \cdot - 2$

ステップ 2.5.2.2.1.2

$- 5$ に $- 2$ をかけます。

$a_{22} = 24 + 10$

ステップ 2.5.2.2.2

$24$ と $10$ をたし算します。

$a_{22} = 34$

ステップ 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 5 & - 7 \end{array} |$

ステップ 2.6.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{23} = 4 \cdot - 7 - 5 \cdot 0$

ステップ 2.6.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1.1

$4$ に $- 7$ をかけます。

$a_{23} = - 28 - 5 \cdot 0$

ステップ 2.6.2.2.1.2

$- 5$ に $0$ をかけます。

$a_{23} = - 28 + 0$

ステップ 2.6.2.2.2

$- 28$ と $0$ をたし算します。

$a_{23} = - 28$

ステップ 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 \\ 3 & 4 \end{array} |$

ステップ 2.7.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{31} = 0 \cdot 4 - 3 \cdot - 2$

ステップ 2.7.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1.1

$0$ に $4$ をかけます。

$a_{31} = 0 - 3 \cdot - 2$

ステップ 2.7.2.2.1.2

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$a_{31} = 0 + 6$

ステップ 2.7.2.2.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$a_{31} = 6$

ステップ 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 2.8.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{32} = 4 \cdot 4 - 2 \cdot - 2$

ステップ 2.8.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$a_{32} = 16 - 2 \cdot - 2$

ステップ 2.8.2.2.1.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$a_{32} = 16 + 4$

ステップ 2.8.2.2.2

$16$ と $4$ をたし算します。

$a_{32} = 20$

ステップ 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 2.9.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{33} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 0$

ステップ 2.9.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1.1

$4$ に $3$ をかけます。

$a_{33} = 12 - 2 \cdot 0$

ステップ 2.9.2.2.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$a_{33} = 12 + 0$

ステップ 2.9.2.2.2

$12$ と $0$ をたし算します。

$a_{33} = 12$

ステップ 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 46 & 8 & - 29 \\ 14 & 34 & 28 \\ 6 & - 20 & 12 \end{array}]$

ステップ 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 46 & 14 & 6 \\ 8 & 34 & - 20 \\ - 29 & 28 & 12 \end{array}]$

線形代数 例

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