線形代数例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 3 & 4 - 2 & - 6 & - 8 1 & 4 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 4 \\ - 2 & - 6 & - 8 \\ 1 & 4 & 9 \end{array}]$

ステップ 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

ステップ 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

Calculate the minor for element

$a_{11}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 6 & - 8 \\ 4 & 9 \end{array} |$

ステップ 2.1.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{11} = - 6 \cdot 9 - 4 \cdot - 8$

ステップ 2.1.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1.1

$- 6$ に

$9$ をかけます。

$a_{11} = - 54 - 4 \cdot - 8$

ステップ 2.1.2.2.1.2

$- 4$ に

$- 8$ をかけます。

$a_{11} = - 54 + 32$

ステップ 2.1.2.2.2

$- 54$ と

$32$ をたし算します。

$a_{11} = - 22$

ステップ 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 8 \\ 1 & 9 \end{array} |$

ステップ 2.2.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{12} = - 2 \cdot 9 - 1 \cdot - 8$

ステップ 2.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

$- 2$ に

$9$ をかけます。

$a_{12} = - 18 - 1 \cdot - 8$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$- 1$ に

$- 8$ をかけます。

$a_{12} = - 18 + 8$

ステップ 2.2.2.2.2

$- 18$ と

$8$ をたし算します。

$a_{12} = - 10$

ステップ 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 6 \\ 1 & 4 \end{array} |$

ステップ 2.3.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{13} = - 2 \cdot 4 - 1 \cdot - 6$

ステップ 2.3.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1.1

$- 2$ に

$4$ をかけます。

$a_{13} = - 8 - 1 \cdot - 6$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$- 1$ に

$- 6$ をかけます。

$a_{13} = - 8 + 6$

ステップ 2.3.2.2.2

$- 8$ と

$6$ をたし算します。

$a_{13} = - 2$

ステップ 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 4 & 9 \end{array} |$

ステップ 2.4.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{21} = 3 \cdot 9 - 4 \cdot 4$

ステップ 2.4.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

$3$ に

$9$ をかけます。

$a_{21} = 27 - 4 \cdot 4$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$- 4$ に

$4$ をかけます。

$a_{21} = 27 - 16$

ステップ 2.4.2.2.2

$27$ から

$16$ を引きます。

$a_{21} = 11$

ステップ 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 9 \end{array} |$

ステップ 2.5.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{22} = 1 \cdot 9 - 1 \cdot 4$

ステップ 2.5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1.1

$9$ に

$1$ をかけます。

$a_{22} = 9 - 1 \cdot 4$

ステップ 2.5.2.2.1.2

$- 1$ に

$4$ をかけます。

$a_{22} = 9 - 4$

ステップ 2.5.2.2.2

$9$ から

$4$ を引きます。

$a_{22} = 5$

ステップ 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |$

ステップ 2.6.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{23} = 1 \cdot 4 - 1 \cdot 3$

ステップ 2.6.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1.1

$4$ に

$1$ をかけます。

$a_{23} = 4 - 1 \cdot 3$

ステップ 2.6.2.2.1.2

$- 1$ に

$3$ をかけます。

$a_{23} = 4 - 3$

ステップ 2.6.2.2.2

$4$ から

$3$ を引きます。

$a_{23} = 1$

ステップ 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 6 & - 8 \end{array} |$

ステップ 2.7.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{31} = 3 \cdot - 8 - (- 6 \cdot 4)$

ステップ 2.7.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1.1

$3$ に

$- 8$ をかけます。

$a_{31} = - 24 - (- 6 \cdot 4)$

ステップ 2.7.2.2.1.2

$- (- 6 \cdot 4)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1.2.1

$- 6$ に

$4$ をかけます。

$a_{31} = - 24 - - 24$

ステップ 2.7.2.2.1.2.2

$- 1$ に

$- 24$ をかけます。

$a_{31} = - 24 + 24$

ステップ 2.7.2.2.2

$- 24$ と

$24$ をたし算します。

$a_{31} = 0$

ステップ 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 2 & - 8 \end{array} |$

ステップ 2.8.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{32} = 1 \cdot - 8 - (- 2 \cdot 4)$

ステップ 2.8.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1.1

$- 8$ に

$1$ をかけます。

$a_{32} = - 8 - (- 2 \cdot 4)$

ステップ 2.8.2.2.1.2

$- (- 2 \cdot 4)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1.2.1

$- 2$ に

$4$ をかけます。

$a_{32} = - 8 - - 8$

ステップ 2.8.2.2.1.2.2

$- 1$ に

$- 8$ をかけます。

$a_{32} = - 8 + 8$

ステップ 2.8.2.2.2

$- 8$ と

$8$ をたし算します。

$a_{32} = 0$

ステップ 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 2 & - 6 \end{array} |$

ステップ 2.9.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{33} = 1 \cdot - 6 - (- 2 \cdot 3)$

ステップ 2.9.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1.1

$- 6$ に

$1$ をかけます。

$a_{33} = - 6 - (- 2 \cdot 3)$

ステップ 2.9.2.2.1.2

$- (- 2 \cdot 3)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1.2.1

$- 2$ に

$3$ をかけます。

$a_{33} = - 6 - - 6$

ステップ 2.9.2.2.1.2.2

$- 1$ に

$- 6$ をかけます。

$a_{33} = - 6 + 6$

ステップ 2.9.2.2.2

$- 6$ と

$6$ をたし算します。

$a_{33} = 0$

ステップ 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 22 & 10 & - 2 \\ - 11 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

線形代数 例

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