線形代数例

$[\begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array}]$

ステップ 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

ステップ 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

Calculate the minor for element

$a_{11}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

ステップ 2.1.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{11} = 9 e^{- 2 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

ステップ 2.1.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1.1

$- 3$ に

$9$ をかけます。

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

ステップ 2.1.2.2.1.2

$- 15$ に

$- 3$ をかけます。

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} + 45 e^{- 2 x}$

ステップ 2.1.2.2.2

$- 27 e^{- 2 x}$ と

$45 e^{- 2 x}$ をたし算します。

$a_{11} = 18 e^{- 2 x}$

ステップ 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

ステップ 2.2.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{12} = 12 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

ステップ 2.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

$- 3$ に

$12$ をかけます。

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$- 15$ に

$- 3$ をかけます。

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} + 45 e^{- 4 x}$

ステップ 2.2.2.2.2

$- 36 e^{- 4 x}$ と

$45 e^{- 4 x}$ をたし算します。

$a_{12} = 9 e^{- 4 x}$

ステップ 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

ステップ 2.3.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{13} = 12 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

ステップ 2.3.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

ステップ 2.3.2.2.1.2

指数を足して

$e^{- 4 x}$ に

$e^{- 2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1.2.1

$e^{- 2 x}$ を移動させます。

$a_{13} = 12 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

ステップ 2.3.2.2.1.2.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

ステップ 2.3.2.2.1.2.3

$- 2 x$ から

$4 x$ を引きます。

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

ステップ 2.3.2.2.1.3

$12$ に

$3$ をかけます。

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

ステップ 2.3.2.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x}$

ステップ 2.3.2.2.1.5

指数を足して

$e^{- 4 x}$ に

$e^{- 2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1.5.1

$e^{- 2 x}$ を移動させます。

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x})$

ステップ 2.3.2.2.1.5.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x}$

ステップ 2.3.2.2.1.5.3

$- 2 x$ から

$4 x$ を引きます。

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 6 x}$

ステップ 2.3.2.2.1.6

$- 3$ に

$9$ をかけます。

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 27 e^{- 6 x}$

ステップ 2.3.2.2.2

$36 e^{- 6 x}$ から

$27 e^{- 6 x}$ を引きます。

$a_{13} = 9 e^{- 6 x}$

ステップ 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

ステップ 2.4.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{21} = 0 \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

ステップ 2.4.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

$0$ に

$- 3$ をかけます。

$a_{21} = 0 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$- 3$ に

$- 3$ をかけます。

$a_{21} = 0 + 9 e^{- 2 x}$

ステップ 2.4.2.2.2

$0$ と

$9 e^{- 2 x}$ をたし算します。

$a_{21} = 9 e^{- 2 x}$

ステップ 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

ステップ 2.5.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{22} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

ステップ 2.5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1.1

$- 3$ に

$6$ をかけます。

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

ステップ 2.5.2.2.1.2

$- 3$ に

$- 3$ をかけます。

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x}$

ステップ 2.5.2.2.2

$- 18 e^{- 4 x}$ と

$9 e^{- 4 x}$ をたし算します。

$a_{22} = - 9 e^{- 4 x}$

ステップ 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

ステップ 2.6.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{23} = 6 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

ステップ 2.6.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

ステップ 2.6.2.2.1.2

指数を足して

$e^{- 4 x}$ に

$e^{- 2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1.2.1

$e^{- 2 x}$ を移動させます。

$a_{23} = 6 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

ステップ 2.6.2.2.1.2.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

ステップ 2.6.2.2.1.2.3

$- 2 x$ から

$4 x$ を引きます。

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

ステップ 2.6.2.2.1.3

$6$ に

$3$ をかけます。

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

ステップ 2.6.2.2.1.4

$- 3 e^{- 4 x} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1.4.1

$0$ に

$- 3$ をかけます。

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

ステップ 2.6.2.2.1.4.2

$0$ に

$e^{- 4 x}$ をかけます。

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0$

ステップ 2.6.2.2.2

$18 e^{- 6 x}$ と

$0$ をたし算します。

$a_{23} = 18 e^{- 6 x}$

ステップ 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 9 e^{- 2 x} & - 15 \end{array} |$

ステップ 2.7.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{31} = 0 \cdot - 15 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

ステップ 2.7.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1.1

$0$ に

$- 15$ をかけます。

$a_{31} = 0 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

ステップ 2.7.2.2.1.2

$- 3$ に

$- 9$ をかけます。

$a_{31} = 0 + 27 e^{- 2 x}$

ステップ 2.7.2.2.2

$0$ と

$27 e^{- 2 x}$ をたし算します。

$a_{31} = 27 e^{- 2 x}$

ステップ 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & - 15 \end{array} |$

ステップ 2.8.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{32} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 15 - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

ステップ 2.8.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1.1

$- 15$ に

$6$ をかけます。

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

ステップ 2.8.2.2.1.2

$- 3$ に

$- 12$ をかけます。

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} + 36 e^{- 4 x}$

ステップ 2.8.2.2.2

$- 90 e^{- 4 x}$ と

$36 e^{- 4 x}$ をたし算します。

$a_{32} = - 54 e^{- 4 x}$

ステップ 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \end{array} |$

ステップ 2.9.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{33} = 6 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

ステップ 2.9.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

ステップ 2.9.2.2.1.2

指数を足して

$e^{- 4 x}$ に

$e^{- 2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1.2.1

$e^{- 2 x}$ を移動させます。

$a_{33} = 6 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

ステップ 2.9.2.2.1.2.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

ステップ 2.9.2.2.1.2.3

$- 2 x$ から

$4 x$ を引きます。

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

ステップ 2.9.2.2.1.3

$6$ に

$9$ をかけます。

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

ステップ 2.9.2.2.1.4

$- 12 e^{- 4 x} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1.4.1

$0$ に

$- 12$ をかけます。

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

ステップ 2.9.2.2.1.4.2

$0$ に

$e^{- 4 x}$ をかけます。

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0$

ステップ 2.9.2.2.2

$54 e^{- 6 x}$ と

$0$ をたし算します。

$a_{33} = 54 e^{- 6 x}$

ステップ 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 18 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & 9 e^{- 6 x} \\ - 9 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & - 18 e^{- 6 x} \\ 27 e^{- 2 x} & 54 e^{- 4 x} & 54 e^{- 6 x} \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例