線形代数例

$[\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 40 & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 + 0 & 0 + 0 \\ 18 + 0 & - 38 - λ & 0 + 0 \\ 36 + 0 & - 72 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 84$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 & 0 + 0 \\ 18 + 0 & - 38 - λ & 0 + 0 \\ 36 + 0 & - 72 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 & 0 \\ 18 + 0 & - 38 - λ & 0 + 0 \\ 36 + 0 & - 72 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$18$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 - λ & 0 + 0 \\ 36 + 0 & - 72 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 - λ & 0 \\ 36 + 0 & - 72 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.5

$36$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 - λ & 0 \\ 36 & - 72 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.6

$- 72$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 40 - λ & - 84 & 0 \\ 18 & - 38 - λ & 0 \\ 36 & - 72 & - 2 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 18 & - 38 - λ \\ 36 & - 72 \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 18 & - 38 - λ \\ 36 & - 72 \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 36 & - 72 \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 36 & - 72 \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 18 & - 38 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 18 & - 38 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 18 & - 38 - λ \\ 36 & - 72 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 36 & - 72 \end{array} | + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 18 & - 38 - λ \end{array} |$

ステップ 5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 18 & - 38 - λ \\ 36 & - 72 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 36 & - 72 \end{array} | + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 18 & - 38 - λ \end{array} |$

ステップ 5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 36 & - 72 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) | \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 18 & - 38 - λ \end{array} |$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} 40 - λ & - 84 \\ 18 & - 38 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) ((40 - λ) (- 38 - λ) - 18 \cdot - 84)$

ステップ 5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(40 - λ) (- 38 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (40 (- 38 - λ) - λ (- 38 - λ) - 18 \cdot - 84)$

ステップ 5.4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (40 \cdot - 38 + 40 (- λ) - λ (- 38 - λ) - 18 \cdot - 84)$

ステップ 5.4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (40 \cdot - 38 + 40 (- λ) - λ \cdot - 38 - λ (- λ) - 18 \cdot - 84)$

ステップ 5.4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1.1

$40$ に $- 38$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 + 40 (- λ) - λ \cdot - 38 - λ (- λ) - 18 \cdot - 84)$

ステップ 5.4.2.1.2.1.2

$- 1$ に $40$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ - λ \cdot - 38 - λ (- λ) - 18 \cdot - 84)$

ステップ 5.4.2.1.2.1.3

$- 38$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ + 38 λ - λ (- λ) - 18 \cdot - 84)$

ステップ 5.4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ + 38 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 18 \cdot - 84)$

ステップ 5.4.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ + 38 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 18 \cdot - 84)$

ステップ 5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ + 38 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 18 \cdot - 84)$

ステップ 5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ + 38 λ + 1 λ^{2} - 18 \cdot - 84)$

ステップ 5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 40 λ + 38 λ + λ^{2} - 18 \cdot - 84)$

ステップ 5.4.2.1.2.2

$- 40 λ$ と $38 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 2 λ + λ^{2} - 18 \cdot - 84)$

ステップ 5.4.2.1.3

$- 18$ に $- 84$ をかけます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 1520 - 2 λ + λ^{2} + 1512)$

ステップ 5.4.2.2

$- 1520$ と $1512$ をたし算します。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 8)$

ステップ 5.4.2.3

$- 2 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = 0 + 0 + (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$0 + 0 + (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 0 + (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$

ステップ 5.5.1.2

$0$ と $(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ をたし算します。

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$

ステップ 5.5.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ を展開します。

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 2 (- 2 λ) - 2 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

ステップ 5.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ - 2 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

ステップ 5.5.3.2

$- 2$ に $- 8$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

ステップ 5.5.3.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

ステップ 5.5.3.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

ステップ 5.5.3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

ステップ 5.5.3.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

ステップ 5.5.3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 8$

ステップ 5.5.3.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 8$

ステップ 5.5.3.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

ステップ 5.5.3.6

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

ステップ 5.5.3.7

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 8 λ$

ステップ 5.5.4

$- 2 λ^{2} + 4 λ + 16 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 8 λ$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

$- 2 λ^{2}$ と $2 λ^{2}$ をたし算します。

$p (λ) = 4 λ + 16 - λ^{3} + 0 + 8 λ$

ステップ 5.5.4.2

$4 λ + 16 - λ^{3}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 4 λ + 16 - λ^{3} + 8 λ$

ステップ 5.5.5

$4 λ$ と $8 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 12 λ + 16 - λ^{3}$

ステップ 5.5.6

$16$ を移動させます。

$p (λ) = 12 λ - λ^{3} + 16$

ステップ 5.5.7

$12 λ$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} + 12 λ + 16$

線形代数 例

線形代数例