線形代数例

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$

ステップ 1.2

サイズ $4$ の単位行列または恒等行列は $4 \times 4$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] - λ I_{4})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{4}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.5

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.5.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.9

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.9.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.9.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.10

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.10.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.10.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.12

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.12.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.12.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.13

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.13.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.13.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.14

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.14.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.14.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.15

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.15.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.15.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.7

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.9

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.11

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.12

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.5.4.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 - λ & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 - λ & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.4.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 - λ & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 - λ & 0 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.3

$0$ に $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 - λ) (- 1 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1.2

$- 1 (- λ)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + 1 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1.2.2

$λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1.3

$- λ \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + 1 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1.3.2

$λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.2.2

$λ$ と $λ$ をたし算します。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.2

$1 + 2 λ + λ^{2} - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.4.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (2 λ + λ^{2} + 0)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.2.2

$2 λ + λ^{2}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (2 λ + λ^{2})) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.4.2.3

$2 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.5.1

$0 + 0 + (- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.5.1.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + (- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.1.2

$0$ と $(- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)$ をたし算します。

$p (λ) = (- 1 - λ) ((- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.5.2.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 1 (λ^{2} + 2 λ) - λ (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.2.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 1 λ^{2} - 1 (2 λ) - λ (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.2.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 1 λ^{2} - 1 (2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.5.3.1.1

$- 1 λ^{2}$ を $- λ^{2}$ に書き換えます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 1 (2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.3.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.3.1.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.5.3.1.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ) - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.3.1.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.5.3.1.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.3.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{2 + 1} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.3.1.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.3.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.5.3.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.3.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.3.1.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 2 λ^{2}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.3.2

$- λ^{2}$ から $2 λ^{2}$ を引きます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.4

$- 2 λ$ を移動させます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 3 λ^{2} - λ^{3} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.4.5.5

$- 3 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.5

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} | - (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

ステップ 1.5.5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 & - 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

ステップ 1.5.5.3

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 \cdot 0 - (- 1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

ステップ 1.5.5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.2.1.1

$0$ に $0$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 - (- 1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

ステップ 1.5.5.3.2.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 - - 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

ステップ 1.5.5.3.2.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 + 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

ステップ 1.5.5.3.2.1.4

$- - λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 + 1 + 1 λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

ステップ 1.5.5.3.2.1.4.2

$λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 + 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

ステップ 1.5.5.3.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

ステップ 1.5.5.3.2.3

$1$ と $λ$ を並べ替えます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

ステップ 1.5.5.4

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1))$

ステップ 1.5.5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.4.2.1.1

$0$ に $0$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 (0 - 1 \cdot 1))$

ステップ 1.5.5.4.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 (0 - 1))$

ステップ 1.5.5.4.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.1

$0$ から $(- 1 - λ) (λ + 1)$ を引きます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (- (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.2.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 ((- - 1 - - λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 ((1 - - λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5.2.3

$- - λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 ((1 + 1 λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5.2.3.2

$λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 ((1 + λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5.2.4

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + λ) (λ + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.2.4.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (1 (λ + 1) + λ (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5.2.4.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (1 λ + 1 \cdot 1 + λ (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5.2.4.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (1 λ + 1 \cdot 1 + λ \cdot λ + λ \cdot 1 + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5.2.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.2.5.1.1

$λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ + 1 \cdot 1 + λ \cdot λ + λ \cdot 1 + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5.2.5.1.2

$1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ + 1 + λ \cdot λ + λ \cdot 1 + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5.2.5.1.3

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ + 1 + λ^{2} + λ \cdot 1 + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5.2.5.1.4

$λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ + 1 + λ^{2} + λ + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5.2.5.2

$λ$ と $λ$ をたし算します。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (2 λ + 1 + λ^{2} + 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.5.5.5.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (2 λ + 1 + λ^{2} - 1)$

ステップ 1.5.5.5.3

$2 λ + 1 + λ^{2} - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.3.1

$1$ から $1$ を引きます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (2 λ + λ^{2} + 0)$

ステップ 1.5.5.5.3.2

$2 λ + λ^{2}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (2 λ + λ^{2})$

ステップ 1.5.5.5.4

$2 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.1

$(- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ^{2} + 2 λ)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.1.1

$(- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.1.2

$(- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.2.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ)$ を展開します。

$p (λ) = - 1 (- λ^{3}) - 1 (- 3 λ^{2}) - 1 (- 2 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.2.2.1

$- 1 (- λ^{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.2.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 1 λ^{3} - 1 (- 3 λ^{2}) - 1 (- 2 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.1.2

$λ^{3}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = λ^{3} - 1 (- 3 λ^{2}) - 1 (- 2 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 (- 2 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.5

指数を足して $λ$ に $λ^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.2.2.5.1

$λ^{3}$ を移動させます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.5.2

$λ^{3}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.2.2.5.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.5.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + 1 λ^{4} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.7

$λ^{4}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.9

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.2.2.9.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.9.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.2.2.9.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.9.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 λ^{3} - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.10

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.12

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.2.2.12.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.12.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.2.13

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} + 2 λ^{2} - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.3

$λ^{3}$ と $3 λ^{3}$ をたし算します。

$p (λ) = 4 λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 2 λ^{2} - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.4

$3 λ^{2}$ と $2 λ^{2}$ をたし算します。

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.5

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 λ^{2} - 1 (2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.6

$- 1 λ^{2}$ を $- λ^{2}$ に書き換えます。

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - λ^{2} - 1 (2 λ)$

ステップ 1.5.6.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - λ^{2} - 2 λ$

ステップ 1.5.6.3

$4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - λ^{2} - 2 λ$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.6.3.1

$2 λ$ から $2 λ$ を引きます。

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + λ^{4} - λ^{2} + 0$

ステップ 1.5.6.3.2

$4 λ^{3} + 5 λ^{2} + λ^{4} - λ^{2}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + λ^{4} - λ^{2}$

ステップ 1.5.6.4

$5 λ^{2}$ から $λ^{2}$ を引きます。

$p (λ) = 4 λ^{3} + λ^{4} + 4 λ^{2}$

ステップ 1.5.6.5

$4 λ^{3}$ と $λ^{4}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{4} + 4 λ^{3} + 4 λ^{2}$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{4} + 4 λ^{3} + 4 λ^{2} = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

$λ^{2}$ を $λ^{4} + 4 λ^{3} + 4 λ^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.1

$λ^{2}$ を $λ^{4}$ で因数分解します。

$λ^{2} λ^{2} + 4 λ^{3} + 4 λ^{2} = 0$

ステップ 1.7.1.1.2

$λ^{2}$ を $4 λ^{3}$ で因数分解します。

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (4 λ) + 4 λ^{2} = 0$

ステップ 1.7.1.1.3

$λ^{2}$ を $4 λ^{2}$ で因数分解します。

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (4 λ) + λ^{2} \cdot 4 = 0$

ステップ 1.7.1.1.4

$λ^{2}$ を $λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (4 λ)$ で因数分解します。

$λ^{2} (λ^{2} + 4 λ) + λ^{2} \cdot 4 = 0$

ステップ 1.7.1.1.5

$λ^{2}$ を $λ^{2} (λ^{2} + 4 λ) + λ^{2} \cdot 4$ で因数分解します。

$λ^{2} (λ^{2} + 4 λ + 4) = 0$

ステップ 1.7.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$λ^{2} (λ^{2} + 4 λ + 2^{2}) = 0$

ステップ 1.7.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 λ = 2 \cdot λ \cdot 2$

ステップ 1.7.1.2.3

多項式を書き換えます。

$λ^{2} (λ^{2} + 2 \cdot λ \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 1.7.1.2.4

$a = λ$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$λ^{2} {(λ + 2)}^{2} = 0$

ステップ 1.7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ^{2} = 0$

${(λ + 2)}^{2} = 0$

ステップ 1.7.3

$λ^{2}$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

$λ^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$λ^{2} = 0$

ステップ 1.7.3.2

$λ$ について $λ^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.7.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.7.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$λ = \pm 0$

ステップ 1.7.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$λ = 0$

ステップ 1.7.4

${(λ + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

${(λ + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(λ + 2)}^{2} = 0$

ステップ 1.7.4.2

$λ$ について ${(λ + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.1

$λ + 2$ が $0$ に等しいとします。

$λ + 2 = 0$

ステップ 1.7.4.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$λ = - 2$

ステップ 1.7.5

最終解は $λ^{2} {(λ + 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 0, - 2$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$0$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$0$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.5

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.6

$0$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.7

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.8

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.9

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.10

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.11

$0$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.12

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.13

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.14

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.15

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.16

$0$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} - 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.5

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.6

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.8

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.9

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.11

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.12

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.13

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.14

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.15

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.16

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 + 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - x_{4} = 0$

$x_{2} - x_{3} = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{4} \\ x_{3} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3}, x_{4} \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$2$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.5

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.6

$2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.7

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.8

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.9

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.10

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.11

$2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.12

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.13

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.14

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.15

$2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.16

$2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} - 1 + 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.6

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.8

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.11

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.12

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.13

$1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.14

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.15

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.16

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + x_{4} = 0$

$x_{2} + x_{3} = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - x_{4} \\ - x_{3} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3}, x_{4} \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

ステップ 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

線形代数 例

線形代数例