線形代数例

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 1.2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 + 0 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.3

$- 10$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.4

$4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.5

$- 5$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.6

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2

$| \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (3 - λ) ((- 10 - λ) (- 6 - λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(- 10 - λ) (- 6 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (3 - λ) (- 10 (- 6 - λ) - λ (- 6 - λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (3 - λ) (- 10 \cdot - 6 - 10 (- λ) - λ (- 6 - λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (3 - λ) (- 10 \cdot - 6 - 10 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.1

$- 10$ に $- 6$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (60 - 10 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.2

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.3

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.2

$10 λ$ と $6 λ$ をたし算します。

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 16 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.3

$- (- 1 \cdot 4)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 16 λ + λ^{2} - - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.3.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 16 λ + λ^{2} + 4) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.2

$60$ と $4$ をたし算します。

$p (λ) = (3 - λ) (16 λ + λ^{2} + 64) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.3

$16 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3

$| \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (- 10 (- 6 - λ) - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (- 10 \cdot - 6 - 10 (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.2

$- 10$ に $- 6$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 - 10 (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.3

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 + 10 λ - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.4

$- (- 5 \cdot 4)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.4.1

$- 5$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 + 10 λ - - 20) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.4.2

$- 1$ に $- 20$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 + 10 λ + 20) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.2

$60$ と $20$ をたし算します。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.4

$| \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 10 \cdot - 1 - (- 5 (- 10 - λ)))$

ステップ 1.5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$- 10$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (- 5 (- 10 - λ)))$

ステップ 1.5.4.2.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (- 5 \cdot - 10 - 5 (- λ)))$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$- 5$ に $- 10$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (50 - 5 (- λ)))$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (50 + 5 λ))$

ステップ 1.5.4.2.1.5

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - 1 \cdot 50 - (5 λ))$

ステップ 1.5.4.2.1.6

$- 1$ に $50$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - 50 - (5 λ))$

ステップ 1.5.4.2.1.7

$5$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - 50 - 5 λ)$

ステップ 1.5.4.2.2

$10$ から $50$ を引きます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 40 - 5 λ)$

ステップ 1.5.4.2.3

$- 40$ と $- 5 λ$ を並べ替えます。

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64)$ を展開します。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (16 λ) + 3 \cdot 64 - λ \cdot λ^{2} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.2.1

$16$ に $3$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 3 \cdot 64 - λ \cdot λ^{2} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.2.2

$3$ に $64$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.2.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.2.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - (λ^{2} λ) - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.2.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.2.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{2 + 1} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.2.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 1 \cdot 16 λ \cdot λ - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.2.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.2.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 1 \cdot 16 (λ \cdot λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.2.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 1 \cdot 16 λ^{2} - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.2.6

$- 1$ に $16$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 16 λ^{2} - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.2.7

$64$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 16 λ^{2} - 64 λ + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.3

$3 λ^{2}$ から $16 λ^{2}$ を引きます。

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 64 λ + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.4

$48 λ$ から $64 λ$ を引きます。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.5

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 2 (10 λ) + 2 \cdot 80 + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.6

$10$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 2 \cdot 80 + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.7

$2$ に $80$ をかけます。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 + 4 (- 5 λ - 40)$

ステップ 1.5.5.1.8

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 + 4 (- 5 λ) + 4 \cdot - 40$

ステップ 1.5.5.1.9

$- 5$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 - 20 λ + 4 \cdot - 40$

ステップ 1.5.5.1.10

$4$ に $- 40$ をかけます。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 - 20 λ - 160$

ステップ 1.5.5.2

$- 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 - 20 λ - 160$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.1

$20 λ$ から $20 λ$ を引きます。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 0 + 160 - 160$

ステップ 1.5.5.2.2

$- 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 160 - 160$

ステップ 1.5.5.2.3

$160$ から $160$ を引きます。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 0$

ステップ 1.5.5.2.4

$- 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3}$

ステップ 1.5.5.3

$192$ を移動させます。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ - λ^{3} + 192$

ステップ 1.5.5.4

$- 16 λ$ を移動させます。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - λ^{3} - 16 λ + 192$

ステップ 1.5.5.5

$- 13 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

有理根検定を用いて $- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

$q = \pm 1$

ステップ 1.7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

ステップ 1.7.1.1.3

$3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $3$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.3.1

$3$ を多項式に代入します。

$- 3^{3} - 13 \cdot 3^{2} - 16 \cdot 3 + 192$

ステップ 1.7.1.1.3.2

$3$ を $3$ 乗します。

$- 1 \cdot 27 - 13 \cdot 3^{2} - 16 \cdot 3 + 192$

ステップ 1.7.1.1.3.3

$- 1$ に $27$ をかけます。

$- 27 - 13 \cdot 3^{2} - 16 \cdot 3 + 192$

ステップ 1.7.1.1.3.4

$3$ を $2$ 乗します。

$- 27 - 13 \cdot 9 - 16 \cdot 3 + 192$

ステップ 1.7.1.1.3.5

$- 13$ に $9$ をかけます。

$- 27 - 117 - 16 \cdot 3 + 192$

ステップ 1.7.1.1.3.6

$- 27$ から $117$ を引きます。

$- 144 - 16 \cdot 3 + 192$

ステップ 1.7.1.1.3.7

$- 16$ に $3$ をかけます。

$- 144 - 48 + 192$

ステップ 1.7.1.1.3.8

$- 144$ から $48$ を引きます。

$- 192 + 192$

ステップ 1.7.1.1.3.9

$- 192$ と $192$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.7.1.1.4

$3$ は既知の根なので、多項式を $λ - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192}{λ - 3}$

ステップ 1.7.1.1.5

$- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$ を $λ - 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$16 λ$

$192$

ステップ 1.7.1.1.5.2

被除数 $- λ^{3}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$

ステップ 1.7.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

ステップ 1.7.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- λ^{3} + 3 λ^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

ステップ 1.7.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$

ステップ 1.7.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.7

被除数 $- 16 λ^{2}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$48 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 16 λ^{2} + 48 λ$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$

ステップ 1.7.1.1.5.12

被除数 $- 64 λ$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$

ステップ 1.7.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$
							-	$64 λ$	+	$192$

ステップ 1.7.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 64 λ + 192$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$
							+	$64 λ$	-	$192$

ステップ 1.7.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$
							+	$64 λ$	-	$192$
										$0$

ステップ 1.7.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- λ^{2} - 16 λ - 64$

ステップ 1.7.1.1.6

$- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$ を因数の集合として書き換えます。

$(λ - 3) (- λ^{2} - 16 λ - 64) = 0$

ステップ 1.7.1.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 64 = 64$ で和が $b = - 16$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1.1.1

$- 16$ を $- 16 λ$ で因数分解します。

$(λ - 3) (- λ^{2} - 16 λ - 64) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.1.2

$- 16$ を $- 8$ プラス $- 8$ に書き換える

$(λ - 3) (- λ^{2} + (- 8 - 8) λ - 64) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(λ - 3) (- λ^{2} - 8 λ - 8 λ - 64) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(λ - 3) ((- λ^{2} - 8 λ) - 8 λ - 64) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(λ - 3) (λ (- λ - 8) + 8 (- λ - 8)) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.3

最大公約数 $- λ - 8$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(λ - 3) ((- λ - 8) (λ + 8)) = 0$

ステップ 1.7.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(λ - 3) (- λ - 8) (λ + 8) = 0$

ステップ 1.7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ - 3 = 0$

$- λ - 8 = 0$

$λ + 8 = 0$

ステップ 1.7.3

$λ - 3$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

$λ - 3$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 3 = 0$

ステップ 1.7.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$λ = 3$

ステップ 1.7.4

$- λ - 8$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

$- λ - 8$ が $0$ に等しいとします。

$- λ - 8 = 0$

ステップ 1.7.4.2

$λ$ について $- λ - 8 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$- λ = 8$

ステップ 1.7.4.2.2

$- λ = 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.2.1

$- λ = 8$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{8}{- 1}$

ステップ 1.7.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{λ}{1} = \frac{8}{- 1}$

ステップ 1.7.4.2.2.2.2

$λ$ を $1$ で割ります。

$λ = \frac{8}{- 1}$

ステップ 1.7.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.2.3.1

$8$ を $- 1$ で割ります。

$λ = - 8$

ステップ 1.7.5

最終解は $(λ - 3) (- λ - 8) (λ + 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 3, - 8$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- 3$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4

$- 3$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.5

$- 3$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.6

$- 3$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.7

$- 3$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.8

$- 3$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.9

$- 3$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 3 - 3 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

ステップ 3.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$3$ から $3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4

$- 10$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5

$- 10$ から $3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.6

$4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.7

$- 5$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.8

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 - 3 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.9

$- 6$ から $3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 9 \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = 3$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 10 & - 13 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 10 & - 13 & 4 & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{10}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{10}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 & - \frac{1}{10} \cdot 4 & - \frac{1}{10} \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 1 + 5 (\frac{13}{10}) & - 9 + 5 (- \frac{2}{5}) & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ 0 & \frac{11}{2} & - 11 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & \frac{11}{2} & - 11 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & \frac{11}{2} & - 11 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 - \frac{11}{2} \cdot 0 & \frac{11}{2} - \frac{11}{2} \cdot 1 & - 11 - \frac{11}{2} \cdot - 2 & 0 - \frac{11}{2} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{10} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{10} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{13}{10} \cdot 0 & \frac{13}{10} - \frac{13}{10} \cdot 1 & - \frac{2}{5} - \frac{13}{10} \cdot - 2 & 0 - \frac{13}{10} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.6.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{11}{5} z = 0$

$y - 2 z = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{11 z}{5} \\ 2 z \\ z \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 8$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + 8 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$8$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$8$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$8$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$8$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$8$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.5

$8$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.6

$8$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.7

$8$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.8

$8$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.9

$8$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 3 + 8 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$3$ と $8$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

$- 10$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5

$- 10$ と $8$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.6

$4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.7

$- 5$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.8

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 + 8 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9

$- 6$ と $8$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 & - 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when $λ = - 8$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 & 0 \\ - 10 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{11}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{11}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{11}{11} & \frac{- 2}{11} & \frac{4}{11} & \frac{0}{11} \\ - 10 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ - 10 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ - 10 + 10 \cdot 1 & - 2 + 10 (- \frac{2}{11}) & 4 + 10 (\frac{4}{11}) & 0 + 10 \cdot 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{42}{11} & \frac{84}{11} & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{42}{11} & \frac{84}{11} & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 1 + 5 (- \frac{2}{11}) & 2 + 5 (\frac{4}{11}) & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{42}{11} & \frac{84}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{21}{11} & \frac{42}{11} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{42}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{42}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ - \frac{11}{42} \cdot 0 & - \frac{11}{42} (- \frac{42}{11}) & - \frac{11}{42} \cdot \frac{84}{11} & - \frac{11}{42} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{21}{11} & \frac{42}{11} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & - \frac{21}{11} & \frac{42}{11} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{21}{11} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{21}{11} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 + \frac{21}{11} \cdot 0 & - \frac{21}{11} + \frac{21}{11} \cdot 1 & \frac{42}{11} + \frac{21}{11} \cdot - 2 & 0 + \frac{21}{11} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{11} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{11} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{11} \cdot 0 & - \frac{2}{11} + \frac{2}{11} \cdot 1 & \frac{4}{11} + \frac{2}{11} \cdot - 2 & 0 + \frac{2}{11} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.6.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y - 2 z = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 z \\ z \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}]}$

線形代数 例

線形代数例