線形代数例

$a = [\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 1.2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - λ & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$- 6$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - λ & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 + 0 & 7 - λ & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.3

$- 6$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - λ & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.4

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - λ & - 4 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.5

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - λ & - 4 \\ 2 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.6

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - λ & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & - 4 \\ - 4 & 3 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(8 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & - 4 \\ - 4 & 3 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & - 4 \\ - 4 & 3 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2

$| \begin{array}{c} 7 - λ & - 4 \\ - 4 & 3 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (8 - λ) ((7 - λ) (3 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(7 - λ) (3 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (8 - λ) (7 (3 - λ) - λ (3 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (8 - λ) (7 \cdot 3 + 7 (- λ) - λ (3 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (8 - λ) (7 \cdot 3 + 7 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.1

$7$ に $3$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (21 + 7 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.2

$- 1$ に $7$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ - λ (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ + λ^{2} - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.2.2

$- 7 λ$ から $3 λ$ を引きます。

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 10 λ + λ^{2} - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.3

$- (- 4 \cdot - 4)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1.3.1

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 10 λ + λ^{2} - 1 \cdot 16) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.1.3.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 10 λ + λ^{2} - 16) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.2

$21$ から $16$ を引きます。

$p (λ) = (8 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 5) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.2.2.3

$- 10 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.3

$| \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 6 (3 - λ) - 2 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 6 \cdot 3 - 6 (- λ) - 2 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.2

$- 6$ に $3$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 18 - 6 (- λ) - 2 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.3

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 18 + 6 λ - 2 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.1.4

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 18 + 6 λ + 8) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.3.2.2

$- 18$ と $8$ をたし算します。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 1.5.4

$| \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (- 6 \cdot - 4 - 2 (7 - λ))$

ステップ 1.5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$- 6$ に $- 4$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (24 - 2 (7 - λ))$

ステップ 1.5.4.2.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (24 - 2 \cdot 7 - 2 (- λ))$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$- 2$ に $7$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (24 - 14 - 2 (- λ))$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (24 - 14 + 2 λ)$

ステップ 1.5.4.2.2

$24$ から $14$ を引きます。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (10 + 2 λ)$

ステップ 1.5.4.2.3

$10$ と $2 λ$ を並べ替えます。

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5)$ を展開します。

$p (λ) = 8 λ^{2} + 8 (- 10 λ) + 8 \cdot 5 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.2.1

$- 10$ に $8$ をかけます。

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 8 \cdot 5 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.2.2

$8$ に $5$ をかけます。

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.2.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.2.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.2.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.2.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.2.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.2.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.2.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.2.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.2.6

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.2.7

$5$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 5 λ + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.3

$8 λ^{2}$ と $10 λ^{2}$ をたし算します。

$p (λ) = 18 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - 5 λ + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.4

$- 80 λ$ から $5 λ$ を引きます。

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.5

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 6 (6 λ) + 6 \cdot - 10 + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.6

$6$ に $6$ をかけます。

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ + 6 \cdot - 10 + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.7

$6$ に $- 10$ をかけます。

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ - 60 + 2 (2 λ + 10)$

ステップ 1.5.5.1.8

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ - 60 + 2 (2 λ) + 2 \cdot 10$

ステップ 1.5.5.1.9

$2$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ - 60 + 4 λ + 2 \cdot 10$

ステップ 1.5.5.1.10

$2$ に $10$ をかけます。

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ - 60 + 4 λ + 20$

ステップ 1.5.5.2

$- 85 λ$ と $36 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 18 λ^{2} - 49 λ + 40 - λ^{3} - 60 + 4 λ + 20$

ステップ 1.5.5.3

$- 49 λ$ と $4 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 18 λ^{2} - 45 λ + 40 - λ^{3} - 60 + 20$

ステップ 1.5.5.4

$40$ から $60$ を引きます。

$p (λ) = 18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3} - 20 + 20$

ステップ 1.5.5.5

$18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3} - 20 + 20$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.5.1

$- 20$ と $20$ をたし算します。

$p (λ) = 18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3} + 0$

ステップ 1.5.5.5.2

$18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3}$

ステップ 1.5.5.6

$- 45 λ$ を移動させます。

$p (λ) = 18 λ^{2} - λ^{3} - 45 λ$

ステップ 1.5.5.7

$18 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} + 18 λ^{2} - 45 λ$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} + 18 λ^{2} - 45 λ = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

$- λ$ を $- λ^{3} + 18 λ^{2} - 45 λ$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.1

$- λ$ を $- λ^{3}$ で因数分解します。

$- λ \cdot λ^{2} + 18 λ^{2} - 45 λ = 0$

ステップ 1.7.1.1.2

$- λ$ を $18 λ^{2}$ で因数分解します。

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - 45 λ = 0$

ステップ 1.7.1.1.3

$- λ$ を $- 45 λ$ で因数分解します。

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 45 = 0$

ステップ 1.7.1.1.4

$- λ$ を $- λ (λ^{2}) - λ (- 18 λ)$ で因数分解します。

$- λ (λ^{2} - 18 λ) - λ \cdot 45 = 0$

ステップ 1.7.1.1.5

$- λ$ を $- λ (λ^{2} - 18 λ) - λ (45)$ で因数分解します。

$- λ (λ^{2} - 18 λ + 45) = 0$

ステップ 1.7.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1

たすき掛けを利用して $λ^{2} - 18 λ + 45$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $45$ で、その和が $- 18$ です。

$- 15, - 3$

ステップ 1.7.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- λ ((λ - 15) (λ - 3)) = 0$

ステップ 1.7.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$- λ (λ - 15) (λ - 3) = 0$

ステップ 1.7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ = 0$

$λ - 15 = 0$

$λ - 3 = 0$

ステップ 1.7.3

$λ$ が $0$ に等しいとします。

$λ = 0$

ステップ 1.7.4

$λ - 15$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

$λ - 15$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 15 = 0$

ステップ 1.7.4.2

方程式の両辺に $15$ を足します。

$λ = 15$

ステップ 1.7.5

$λ - 3$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1

$λ - 3$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 3 = 0$

ステップ 1.7.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$λ = 3$

ステップ 1.7.6

最終解は $- λ (λ - 15) (λ - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 0, 15, 3$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{a} = N (a - λ I_{3})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$0$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$0$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.5

$0$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.6

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.7

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.8

$0$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.9

$0$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 8 + 0 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$8$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.2

$- 6$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.3

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.4

$- 6$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.5

$7$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.6

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.7

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.8

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2.9

$3$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 & 0 \\ - 6 & 7 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{8} & \frac{- 6}{8} & \frac{2}{8} & \frac{0}{8} \\ - 6 & 7 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ - 6 & 7 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 7 + 6 (- \frac{3}{4}) & - 4 + 6 (\frac{1}{4}) & 0 + 6 \cdot 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 (- \frac{3}{4}) & 3 - 2 (\frac{1}{4}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} (- \frac{5}{2}) & \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 & - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot 1 & \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 1 & 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{4} \cdot 0 & - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot 1 & \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 1 & 0 + \frac{3}{4} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.6.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{2} z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} \\ z \\ z \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 15$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] - 15 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- 15$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$- 15$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$- 15$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$- 15$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$- 15$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.5

$- 15$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.6

$- 15$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.7

$- 15$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & 0 \\ 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.8

$- 15$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & 0 \\ 0 & 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.9

$- 15$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & 0 \\ 0 & 0 & - 15 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 8 - 15 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$8$ から $15$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$- 6$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 + 0 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

$- 6$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5

$7$ から $15$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.6

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.7

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 \\ 2 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.8

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 - 15 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9

$3$ から $15$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 \\ 2 & - 4 & - 12 \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when $λ = 15$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 & 0 \\ - 6 & - 8 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 6 & - \frac{1}{7} \cdot 2 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ - 6 & - 8 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ - 6 & - 8 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & - 8 + 6 (\frac{6}{7}) & - 4 + 6 (- \frac{2}{7}) & 0 + 6 \cdot 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{7} & - \frac{40}{7} & 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{7} & - \frac{40}{7} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 (\frac{6}{7}) & - 12 - 2 (- \frac{2}{7}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{7} & - \frac{40}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{40}{7} & - \frac{80}{7} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{7}{20}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{7}{20}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ - \frac{7}{20} \cdot 0 & - \frac{7}{20} (- \frac{20}{7}) & - \frac{7}{20} (- \frac{40}{7}) & - \frac{7}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{40}{7} & - \frac{80}{7} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & - \frac{40}{7} & - \frac{80}{7} & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{40}{7} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{40}{7} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 + \frac{40}{7} \cdot 0 & - \frac{40}{7} + \frac{40}{7} \cdot 1 & - \frac{80}{7} + \frac{40}{7} \cdot 2 & 0 + \frac{40}{7} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{6}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{6}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{6}{7} \cdot 0 & \frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 1 & - \frac{2}{7} - \frac{6}{7} \cdot 2 & 0 - \frac{6}{7} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.6.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 2 z = 0$

$y + 2 z = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 z \\ - 2 z \\ z \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 3$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.4

$- 3$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.5

$- 3$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.6

$- 3$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.7

$- 3$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.8

$- 3$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.9

$- 3$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

ステップ 5.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 8 - 3 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

ステップ 5.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$8$ から $3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.2

$- 6$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.3

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 + 0 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.4

$- 6$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.5

$7$ から $3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.6

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.7

$2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 \\ 2 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.8

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 - 3 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.9

$3$ から $3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 \\ 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3

Find the null space when $λ = 3$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 & 0 \\ - 6 & 4 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{- 6}{5} & \frac{2}{5} & \frac{0}{5} \\ - 6 & 4 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ - 6 & 4 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 4 + 6 (- \frac{6}{5}) & - 4 + 6 (\frac{2}{5}) & 0 + 6 \cdot 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{16}{5} & - \frac{8}{5} & 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{16}{5} & - \frac{8}{5} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 (- \frac{6}{5}) & 0 - 2 (\frac{2}{5}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{16}{5} & - \frac{8}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{8}{5} & - \frac{4}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{5}{16} \cdot 0 & - \frac{5}{16} (- \frac{16}{5}) & - \frac{5}{16} (- \frac{8}{5}) & - \frac{5}{16} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{8}{5} & - \frac{4}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{8}{5} & - \frac{4}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{8}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{8}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 + \frac{8}{5} \cdot 0 & - \frac{8}{5} + \frac{8}{5} \cdot 1 & - \frac{4}{5} + \frac{8}{5} \cdot \frac{1}{2} & 0 + \frac{8}{5} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{6}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{6}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{6}{5} \cdot 0 & - \frac{6}{5} + \frac{6}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} + \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{2} & 0 + \frac{6}{5} \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.6.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y + \frac{1}{2} z = 0$

$0 = 0$

ステップ 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ - \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

ステップ 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

ステップ 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 6

The eigenspace of $a$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

線形代数 例

線形代数例