線形代数例

$[\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 8 & - 20 \\ 2 & 2 & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 + 0 & - 20 + 0 \\ 2 + 0 & 2 - λ & - 10 + 0 \\ 2 + 0 & 4 + 0 & - 12 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$8$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 & - 20 + 0 \\ 2 + 0 & 2 - λ & - 10 + 0 \\ 2 + 0 & 4 + 0 & - 12 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$- 20$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 & - 20 \\ 2 + 0 & 2 - λ & - 10 + 0 \\ 2 + 0 & 4 + 0 & - 12 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 & - 20 \\ 2 & 2 - λ & - 10 + 0 \\ 2 + 0 & 4 + 0 & - 12 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.4

$- 10$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 & - 20 \\ 2 & 2 - λ & - 10 \\ 2 + 0 & 4 + 0 & - 12 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.5

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 & - 20 \\ 2 & 2 - λ & - 10 \\ 2 & 4 + 0 & - 12 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.6

$4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 8 & - 20 \\ 2 & 2 - λ & - 10 \\ 2 & 4 & - 12 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & - 10 \\ 4 & - 12 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & - 10 \\ 4 & - 12 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & - 10 \\ 4 & - 12 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2

$| \begin{array}{c} 2 - λ & - 10 \\ 4 & - 12 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (- 12 - λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 - λ) (- 12 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (2 - λ) (2 (- 12 - λ) - λ (- 12 - λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot - 12 + 2 (- λ) - λ (- 12 - λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot - 12 + 2 (- λ) - λ \cdot - 12 - λ (- λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.1

$2$ に $- 12$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 + 2 (- λ) - λ \cdot - 12 - λ (- λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ - λ \cdot - 12 - λ (- λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.3

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ + 12 λ - λ (- λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ + 12 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ + 12 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ + 12 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ + 12 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 - 2 λ + 12 λ + λ^{2} - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$- 2 λ$ と $12 λ$ をたし算します。

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 + 10 λ + λ^{2} - 4 \cdot - 10) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.3

$- 4$ に $- 10$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (- 24 + 10 λ + λ^{2} + 40) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2

$- 24$ と $40$ をたし算します。

$p (λ) = (2 - λ) (10 λ + λ^{2} + 16) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.3

$10 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} | - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.3

$| \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ 2 & - 12 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (2 (- 12 - λ) - 2 \cdot - 10) - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (2 \cdot - 12 + 2 (- λ) - 2 \cdot - 10) - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.1.2

$2$ に $- 12$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 24 + 2 (- λ) - 2 \cdot - 10) - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 24 - 2 λ - 2 \cdot - 10) - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.1.4

$- 2$ に $- 10$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 24 - 2 λ + 20) - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.2

$- 24$ と $20$ をたし算します。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 | \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} 2 & 2 - λ \\ 2 & 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 \cdot 4 - 2 (2 - λ))$

ステップ 5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (8 - 2 (2 - λ))$

ステップ 5.4.2.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (8 - 2 \cdot 2 - 2 (- λ))$

ステップ 5.4.2.1.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (8 - 4 - 2 (- λ))$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (8 - 4 + 2 λ)$

ステップ 5.4.2.2

$8$ から $4$ を引きます。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (4 + 2 λ)$

ステップ 5.4.2.3

$4$ と $2 λ$ を並べ替えます。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16) - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 - λ) (λ^{2} + 10 λ + 16)$ を展開します。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (10 λ) + 2 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.1

$10$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 2 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.2.2

$2$ に $16$ をかけます。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ \cdot λ^{2} - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.2.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - (λ^{2} λ) - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.2.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{2 + 1} - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.2.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - λ (10 λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - 1 \cdot 10 λ \cdot λ - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.2.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - 1 \cdot 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.2.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - 1 \cdot 10 λ^{2} - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.2.6

$- 1$ に $10$ をかけます。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - 10 λ^{2} - λ \cdot 16 - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.2.7

$16$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - 10 λ^{2} - 16 λ - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.3

$2 λ^{2}$ から $10 λ^{2}$ を引きます。

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} - 16 λ - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.4

$20 λ$ から $16 λ$ を引きます。

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} - 8 (- 2 λ - 4) - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.5

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} - 8 (- 2 λ) - 8 \cdot - 4 - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.6

$- 2$ に $- 8$ をかけます。

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} + 16 λ - 8 \cdot - 4 - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.7

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} + 16 λ + 32 - 20 (2 λ + 4)$

ステップ 5.5.1.8

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} + 16 λ + 32 - 20 (2 λ) - 20 \cdot 4$

ステップ 5.5.1.9

$2$ に $- 20$ をかけます。

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} + 16 λ + 32 - 40 λ - 20 \cdot 4$

ステップ 5.5.1.10

$- 20$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 4 λ + 32 - λ^{3} + 16 λ + 32 - 40 λ - 80$

ステップ 5.5.2

$4 λ$ と $16 λ$ をたし算します。

$p (λ) = - 8 λ^{2} + 20 λ + 32 - λ^{3} + 32 - 40 λ - 80$

ステップ 5.5.3

$20 λ$ から $40 λ$ を引きます。

$p (λ) = - 8 λ^{2} - 20 λ + 32 - λ^{3} + 32 - 80$

ステップ 5.5.4

$32$ と $32$ をたし算します。

$p (λ) = - 8 λ^{2} - 20 λ - λ^{3} + 64 - 80$

ステップ 5.5.5

$64$ から $80$ を引きます。

$p (λ) = - 8 λ^{2} - 20 λ - λ^{3} - 16$

ステップ 5.5.6

$- 20 λ$ を移動させます。

$p (λ) = - 8 λ^{2} - λ^{3} - 20 λ - 16$

ステップ 5.5.7

$- 8 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} - 8 λ^{2} - 20 λ - 16$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} - 8 λ^{2} - 20 λ - 16 = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- 1$ を $- λ^{3} - 8 λ^{2} - 20 λ - 16$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$- 1$ を $- λ^{3}$ で因数分解します。

$- (λ^{3}) - 8 λ^{2} - 20 λ - 16 = 0$

ステップ 7.1.1.2

$- 1$ を $- 8 λ^{2}$ で因数分解します。

$- (λ^{3}) - (8 λ^{2}) - 20 λ - 16 = 0$

ステップ 7.1.1.3

$- 1$ を $- 20 λ$ で因数分解します。

$- (λ^{3}) - (8 λ^{2}) - (20 λ) - 16 = 0$

ステップ 7.1.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$- (λ^{3}) - (8 λ^{2}) - (20 λ) - 1 \cdot 16 = 0$

ステップ 7.1.1.5

$- 1$ を $- (λ^{3}) - (8 λ^{2})$ で因数分解します。

$- (λ^{3} + 8 λ^{2}) - (20 λ) - 1 \cdot 16 = 0$

ステップ 7.1.1.6

$- 1$ を $- (λ^{3} + 8 λ^{2}) - (20 λ)$ で因数分解します。

$- (λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ) - 1 \cdot 16 = 0$

ステップ 7.1.1.7

$- 1$ を $- (λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ) - 1 (16)$ で因数分解します。

$- (λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ + 16) = 0$

ステップ 7.1.2

有理根検定を用いて $λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ + 16$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 7.1.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

ステップ 7.1.2.3

$- 2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 2$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.3.1

$- 2$ を多項式に代入します。

${(- 2)}^{3} + 8 {(- 2)}^{2} + 20 \cdot - 2 + 16$

ステップ 7.1.2.3.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 + 8 {(- 2)}^{2} + 20 \cdot - 2 + 16$

ステップ 7.1.2.3.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 8 + 8 \cdot 4 + 20 \cdot - 2 + 16$

ステップ 7.1.2.3.4

$8$ に $4$ をかけます。

$- 8 + 32 + 20 \cdot - 2 + 16$

ステップ 7.1.2.3.5

$- 8$ と $32$ をたし算します。

$24 + 20 \cdot - 2 + 16$

ステップ 7.1.2.3.6

$20$ に $- 2$ をかけます。

$24 - 40 + 16$

ステップ 7.1.2.3.7

$24$ から $40$ を引きます。

$- 16 + 16$

ステップ 7.1.2.3.8

$- 16$ と $16$ をたし算します。

$0$

ステップ 7.1.2.4

$- 2$ は既知の根なので、多項式を $λ + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ + 16}{λ + 2}$

ステップ 7.1.2.5

$λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ + 16$ を $λ + 2$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$8 λ^{2}$

$20 λ$

$16$

ステップ 7.1.2.5.2

被除数 $λ^{3}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$

ステップ 7.1.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$λ^{2}$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

ステップ 7.1.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $λ^{3} + 2 λ^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$λ^{2}$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

ステップ 7.1.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$λ^{2}$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$

ステップ 7.1.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$λ^{2}$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$

ステップ 7.1.2.5.7

被除数 $6 λ^{2}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

				$λ^{2}$	+	$6 λ$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$

ステップ 7.1.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$λ^{2}$	+	$6 λ$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					+	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$

ステップ 7.1.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $6 λ^{2} + 12 λ$ の符号をすべて変更します。

				$λ^{2}$	+	$6 λ$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$

ステップ 7.1.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$λ^{2}$	+	$6 λ$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$8 λ$

ステップ 7.1.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$λ^{2}$	+	$6 λ$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$8 λ$	+	$16$

ステップ 7.1.2.5.12

被除数 $8 λ$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

				$λ^{2}$	+	$6 λ$	+	$8$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$8 λ$	+	$16$

ステップ 7.1.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$λ^{2}$	+	$6 λ$	+	$8$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$8 λ$	+	$16$
							+	$8 λ$	+	$16$

ステップ 7.1.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $8 λ + 16$ の符号をすべて変更します。

				$λ^{2}$	+	$6 λ$	+	$8$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$8 λ$	+	$16$
							-	$8 λ$	-	$16$

ステップ 7.1.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$λ^{2}$	+	$6 λ$	+	$8$
$λ$	+	$2$		$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	+	$20 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$6 λ^{2}$	+	$20 λ$
					-	$6 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$8 λ$	+	$16$
							-	$8 λ$	-	$16$
										$0$

ステップ 7.1.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$λ^{2} + 6 λ + 8$

ステップ 7.1.2.6

$λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ + 16$ を因数の集合として書き換えます。

$- ((λ + 2) (λ^{2} + 6 λ + 8)) = 0$

ステップ 7.1.3

たすき掛けを利用して $λ^{2} + 6 λ + 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

たすき掛けを利用して $λ^{2} + 6 λ + 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $6$ です。

$2, 4$

ステップ 7.1.3.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((λ + 2) ((λ + 2) (λ + 4))) = 0$

ステップ 7.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$- ((λ + 2) (λ + 2) (λ + 4)) = 0$

ステップ 7.1.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.1

同類因数をまとめます

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.1.1

$λ + 2$ を $1$ 乗します。

$- ((λ + 2) (λ + 2) (λ + 4)) = 0$

ステップ 7.1.4.1.2

$λ + 2$ を $1$ 乗します。

$- ((λ + 2) (λ + 2) (λ + 4)) = 0$

ステップ 7.1.4.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- ({(λ + 2)}^{1 + 1} (λ + 4)) = 0$

ステップ 7.1.4.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- ({(λ + 2)}^{2} (λ + 4)) = 0$

ステップ 7.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$- {(λ + 2)}^{2} (λ + 4) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(λ + 2)}^{2} = 0$

$λ + 4 = 0$

ステップ 7.3

${(λ + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

${(λ + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(λ + 2)}^{2} = 0$

ステップ 7.3.2

$λ$ について ${(λ + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$λ + 2$ が $0$ に等しいとします。

$λ + 2 = 0$

ステップ 7.3.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$λ = - 2$

ステップ 7.4

$λ + 4$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$λ + 4$ が $0$ に等しいとします。

$λ + 4 = 0$

ステップ 7.4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$λ = - 4$

ステップ 7.5

最終解は $- {(λ + 2)}^{2} (λ + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = - 2, - 4$

線形代数 例

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