線形代数例

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 2

サイズ $2$ の単位行列または恒等行列は $2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ から $λ$ を引きます。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = - λ (\sqrt{2} - λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.3.1.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.3.3

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.4

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - - 1$

ステップ 5.2.1.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1$

ステップ 5.2.2

$- λ \sqrt{2}$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1 = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2

$a = 1$ 、 $b = - \sqrt{2}$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $λ$ の値を求めます。

$\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.4.4.2

式を書き換えます。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.4.5

指数を求めます。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.5

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.5.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.5.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6

$2$ から $4$ を引きます。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.7

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.8

$\sqrt{- 1 (2)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ に書き換えます。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.9

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$λ = \frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$

線形代数 例

線形代数例