線形代数例

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 + 0 & - 36 + 0 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 + 0 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$- 36$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.5

$- 36$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

ステップ 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} | + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

ステップ 5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

ステップ 5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) ((- 2 - λ) (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

ステップ 5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 - λ) (- 23 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 (- 23 - λ) - λ (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 \cdot - 23 - 2 (- λ) - λ (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 \cdot - 23 - 2 (- λ) - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1.1

$- 2$ に $- 23$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 - 2 (- λ) - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.3

$- 23$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ + 1 λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ + λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.2

$2 λ$ と $23 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.3

$- (- 36 \cdot - 36)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.3.1

$- 36$ に $- 36$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1296) + 0$

ステップ 5.4.2.1.3.2

$- 1$ に $1296$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - 1296) + 0$

ステップ 5.4.2.2

$46$ から $1296$ を引きます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (25 λ + λ^{2} - 1250) + 0$

ステップ 5.4.2.3

$25 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$0 + (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$0$ と $(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ をたし算します。

$p (λ) = (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$

ステップ 5.5.1.2

$(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$

ステップ 5.5.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ を展開します。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 3 (25 λ) - 3 \cdot - 1250 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

ステップ 5.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

$25$ に $- 3$ をかけます。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ - 3 \cdot - 1250 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

ステップ 5.5.3.2

$- 3$ に $- 1250$ をかけます。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

ステップ 5.5.3.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - (λ^{2} λ) - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

ステップ 5.5.3.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

ステップ 5.5.3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{2 + 1} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

ステップ 5.5.3.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

ステップ 5.5.3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 λ \cdot λ - λ \cdot - 1250$

ステップ 5.5.3.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1250$

ステップ 5.5.3.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 λ^{2} - λ \cdot - 1250$

ステップ 5.5.3.6

$- 1$ に $25$ をかけます。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 25 λ^{2} - λ \cdot - 1250$

ステップ 5.5.3.7

$- 1250$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 25 λ^{2} + 1250 λ$

ステップ 5.5.4

$- 3 λ^{2}$ から $25 λ^{2}$ を引きます。

$p (λ) = - 28 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} + 1250 λ$

ステップ 5.5.5

$- 75 λ$ と $1250 λ$ をたし算します。

$p (λ) = - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750 - λ^{3}$

ステップ 5.5.6

$3750$ を移動させます。

$p (λ) = - 28 λ^{2} + 1175 λ - λ^{3} + 3750$

ステップ 5.5.7

$1175 λ$ を移動させます。

$p (λ) = - 28 λ^{2} - λ^{3} + 1175 λ + 3750$

ステップ 5.5.8

$- 28 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750 = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

有理根検定を用いて $- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3750, \pm 2, \pm 1875, \pm 3, \pm 1250, \pm 5, \pm 750, \pm 6, \pm 625, \pm 10, \pm 375, \pm 15, \pm 250, \pm 25, \pm 150, \pm 30, \pm 125, \pm 50, \pm 75$

$q = \pm 1$

ステップ 7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3750, \pm 2, \pm 1875, \pm 3, \pm 1250, \pm 5, \pm 750, \pm 6, \pm 625, \pm 10, \pm 375, \pm 15, \pm 250, \pm 25, \pm 150, \pm 30, \pm 125, \pm 50, \pm 75$

ステップ 7.1.1.3

$- 3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 3$ は多項式の根です。

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ステップ 7.1.1.3.1

$- 3$ を多項式に代入します。

$- {(- 3)}^{3} - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

ステップ 7.1.1.3.2

$- 3$ を $3$ 乗します。

$- - 27 - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

ステップ 7.1.1.3.3

$- 1$ に $- 27$ をかけます。

$27 - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

ステップ 7.1.1.3.4

$- 3$ を $2$ 乗します。

$27 - 28 \cdot 9 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

ステップ 7.1.1.3.5

$- 28$ に $9$ をかけます。

$27 - 252 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

ステップ 7.1.1.3.6

$27$ から $252$ を引きます。

$- 225 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

ステップ 7.1.1.3.7

$1175$ に $- 3$ をかけます。

$- 225 - 3525 + 3750$

ステップ 7.1.1.3.8

$- 225$ から $3525$ を引きます。

$- 3750 + 3750$

ステップ 7.1.1.3.9

$- 3750$ と $3750$ をたし算します。

$0$

ステップ 7.1.1.4

$- 3$ は既知の根なので、多項式を $λ + 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750}{λ + 3}$

ステップ 7.1.1.5

$- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ を $λ + 3$ で割ります。

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ステップ 7.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$1175 λ$

$3750$

ステップ 7.1.1.5.2

被除数 $- λ^{3}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$

ステップ 7.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

ステップ 7.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- λ^{3} - 3 λ^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

ステップ 7.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$

ステップ 7.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$

ステップ 7.1.1.5.7

被除数 $- 25 λ^{2}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$

ステップ 7.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					-	$25 λ^{2}$	-	$75 λ$

ステップ 7.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 25 λ^{2} - 75 λ$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$

ステップ 7.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$

ステップ 7.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

ステップ 7.1.1.5.12

被除数 $1250 λ$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

ステップ 7.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

ステップ 7.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $1250 λ + 3750$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							-	$1250 λ$	-	$3750$

ステップ 7.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							-	$1250 λ$	-	$3750$
										$0$

ステップ 7.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- λ^{2} - 25 λ + 1250$

ステップ 7.1.1.6

$- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ を因数の集合として書き換えます。

$(λ + 3) (- λ^{2} - 25 λ + 1250) = 0$

ステップ 7.1.2

群による因数分解。

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ステップ 7.1.2.1

群による因数分解。

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ステップ 7.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 1250 = - 1250$ で和が $b = - 25$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 7.1.2.1.1.1

$- 25$ を $- 25 λ$ で因数分解します。

$(λ + 3) (- λ^{2} - 25 λ + 1250) = 0$

ステップ 7.1.2.1.1.2

$- 25$ を $25$ プラス $- 50$ に書き換える

$(λ + 3) (- λ^{2} + (25 - 50) λ + 1250) = 0$

ステップ 7.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(λ + 3) (- λ^{2} + 25 λ - 50 λ + 1250) = 0$

ステップ 7.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(λ + 3) ((- λ^{2} + 25 λ) - 50 λ + 1250) = 0$

ステップ 7.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(λ + 3) (λ (- λ + 25) + 50 (- λ + 25)) = 0$

ステップ 7.1.2.1.3

最大公約数 $- λ + 25$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(λ + 3) ((- λ + 25) (λ + 50)) = 0$

ステップ 7.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(λ + 3) (- λ + 25) (λ + 50) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ + 3 = 0$

$- λ + 25 = 0$

$λ + 50 = 0$

ステップ 7.3

$λ + 3$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$λ + 3$ が $0$ に等しいとします。

$λ + 3 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$λ = - 3$

ステップ 7.4

$- λ + 25$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

$- λ + 25$ が $0$ に等しいとします。

$- λ + 25 = 0$

ステップ 7.4.2

$λ$ について $- λ + 25 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.4.2.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$- λ = - 25$

ステップ 7.4.2.2

$- λ = - 25$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.4.2.2.1

$- λ = - 25$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 7.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{λ}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 7.4.2.2.2.2

$λ$ を $1$ で割ります。

$λ = \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 7.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.4.2.2.3.1

$- 25$ を $- 1$ で割ります。

$λ = 25$

ステップ 7.5

$λ + 50$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

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ステップ 7.5.1

$λ + 50$ が $0$ に等しいとします。

$λ + 50 = 0$

ステップ 7.5.2

方程式の両辺から $50$ を引きます。

$λ = - 50$

ステップ 7.6

最終解は $(λ + 3) (- λ + 25) (λ + 50) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = - 3, 25, - 50$

線形代数 例

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