線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.4

$6$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.5

$7$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.6

$8$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 & 8 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (1 - λ) ((5 - λ) (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(5 - λ) (9 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (1 - λ) (5 (9 - λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (1 - λ) (5 \cdot 9 + 5 (- λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (1 - λ) (5 \cdot 9 + 5 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.1

$5$ に $9$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (45 + 5 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$- 5 λ$ から $9 λ$ を引きます。

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 14 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.3

$- 8$ に $6$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 14 λ + λ^{2} - 48) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2

$45$ から $48$ を引きます。

$p (λ) = (1 - λ) (- 14 λ + λ^{2} - 3) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.3

$- 14 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.3

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (4 (9 - λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (4 \cdot 9 + 4 (- λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 + 4 (- λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 - 4 λ - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.1.4

$- 7$ に $6$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 - 4 λ - 42) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.2

$36$ から $42$ を引きます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (4 \cdot 8 - 7 (5 - λ))$

ステップ 5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$4$ に $8$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 7 (5 - λ))$

ステップ 5.4.2.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 7 \cdot 5 - 7 (- λ))$

ステップ 5.4.2.1.3

$- 7$ に $5$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 35 - 7 (- λ))$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 35 + 7 λ)$

ステップ 5.4.2.2

$32$ から $35$ を引きます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (- 3 + 7 λ)$

ステップ 5.4.2.3

$- 3$ と $7 λ$ を並べ替えます。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3)$ を展開します。

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 14 λ) + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.1

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 14 λ) + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.2.2

$- 14 λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.2.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.2.4

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.4.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - (λ^{2} λ) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.2.4.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.4.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.2.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ \cdot λ - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.2.6

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.6.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.2.6.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.2.7

$- 1$ に $- 14$ をかけます。

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 14 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.2.8

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 14 λ^{2} + 3 λ - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.3

$λ^{2}$ と $14 λ^{2}$ をたし算します。

$p (λ) = 15 λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 3 λ - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.4

$- 14 λ$ と $3 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.5

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} - 2 (- 4 λ) - 2 \cdot - 6 + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.6

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ - 2 \cdot - 6 + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.7

$- 2$ に $- 6$ をかけます。

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 3 (7 λ - 3)$

ステップ 5.5.1.8

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 3 (7 λ) + 3 \cdot - 3$

ステップ 5.5.1.9

$7$ に $3$ をかけます。

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 21 λ + 3 \cdot - 3$

ステップ 5.5.1.10

$3$ に $- 3$ をかけます。

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 21 λ - 9$

ステップ 5.5.2

$- 11 λ$ と $8 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 15 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} + 12 + 21 λ - 9$

ステップ 5.5.3

$- 3 λ$ と $21 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - 3 - λ^{3} + 12 - 9$

ステップ 5.5.4

$- 3$ と $12$ をたし算します。

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 9 - 9$

ステップ 5.5.5

$15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 9 - 9$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.5.5.1

$9$ から $9$ を引きます。

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 0$

ステップ 5.5.5.2

$15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3}$

ステップ 5.5.6

$18 λ$ を移動させます。

$p (λ) = 15 λ^{2} - λ^{3} + 18 λ$

ステップ 5.5.7

$15 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

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ステップ 7.1

$- λ$ を $- λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$- λ$ を $- λ^{3}$ で因数分解します。

$- λ \cdot λ^{2} + 15 λ^{2} + 18 λ = 0$

ステップ 7.1.2

$- λ$ を $15 λ^{2}$ で因数分解します。

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 15 λ) + 18 λ = 0$

ステップ 7.1.3

$- λ$ を $18 λ$ で因数分解します。

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 15 λ) - λ \cdot - 18 = 0$

ステップ 7.1.4

$- λ$ を $- λ (λ^{2}) - λ (- 15 λ)$ で因数分解します。

$- λ (λ^{2} - 15 λ) - λ \cdot - 18 = 0$

ステップ 7.1.5

$- λ$ を $- λ (λ^{2} - 15 λ) - λ (- 18)$ で因数分解します。

$- λ (λ^{2} - 15 λ - 18) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ = 0$

$λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$

ステップ 7.3

$λ$ が $0$ に等しいとします。

$λ = 0$

ステップ 7.4

$λ^{2} - 15 λ - 18$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

$λ^{2} - 15 λ - 18$ が $0$ に等しいとします。

$λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$

ステップ 7.4.2

$λ$ について $λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 15$ 、および $c = - 18$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $λ$ の値を求めます。

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 18)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3

簡約します。

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ステップ 7.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.2.3.1.1

$- 15$ を $2$ 乗します。

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 18$ を掛けます。

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ステップ 7.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 18$ をかけます。

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 72}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.3

$225$ と $72$ をたし算します。

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{297}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.4

$297$ を $3^{2} \cdot 33$ に書き換えます。

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ステップ 7.4.2.3.1.4.1

$9$ を $297$ で因数分解します。

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{9 (33)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$λ = \frac{15 \pm 3 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{15 \pm 3 \sqrt{33}}{2}$

ステップ 7.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$λ = \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

ステップ 7.5

最終解は $- λ (λ^{2} - 15 λ - 18) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 0, \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$λ = 0, \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

10進法形式：

$λ = 0, 16.11684396 \dots, - 1.11684396 \dots$

線形代数 例

線形代数例