線形代数例

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 1.2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.3

$3$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.4

$0$ から $λ$ を引きます。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 & 1 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 1.5.3

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 1.5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 1.5.3.2.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 1.5.3.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 1.5.3.2.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.4.1

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.4.1.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 1.5.3.2.1.4.1.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 1.5.3.2.1.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 1.5.3.2.1.4.3

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 1.5.3.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 1.5.3.2.2

$- 2 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 1.5.4

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (3 (2 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (3 \cdot 2 + 3 (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 + 3 (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 - 3 λ - 1 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 - 3 λ - 1) + 0$

ステップ 1.5.4.2.2

$6$ から $1$ を引きます。

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5) + 0$

ステップ 1.5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

$(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1)$ を展開します。

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 2 (- 2 λ) - 2 \cdot - 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.2.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ - 2 \cdot - 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.2.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.2.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.2.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.2.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.2.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.2.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.2.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.2.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.2.6

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.2.7

$- λ \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.2.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 1 λ - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.2.7.2

$λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.3

$- 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + λ$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.2.3.1

$- 2 λ^{2}$ と $2 λ^{2}$ をたし算します。

$p (λ) = 4 λ + 2 - λ^{3} + 0 + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.3.2

$4 λ + 2 - λ^{3}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 4 λ + 2 - λ^{3} + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.4

$4 λ$ と $λ$ をたし算します。

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} - 3 (- 3 λ + 5)$

ステップ 1.5.5.2.5

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} - 3 (- 3 λ) - 3 \cdot 5$

ステップ 1.5.5.2.6

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} + 9 λ - 3 \cdot 5$

ステップ 1.5.5.2.7

$- 3$ に $5$ をかけます。

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} + 9 λ - 15$

ステップ 1.5.5.3

$5 λ$ と $9 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 14 λ + 2 - λ^{3} - 15$

ステップ 1.5.5.4

$2$ から $15$ を引きます。

$p (λ) = 14 λ - λ^{3} - 13$

ステップ 1.5.5.5

$14 λ$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ - 13$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} + 14 λ - 13 = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

$- 1$ を $- λ^{3} + 14 λ - 13$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.1

$- 1$ を $- λ^{3}$ で因数分解します。

$- (λ^{3}) + 14 λ - 13 = 0$

ステップ 1.7.1.1.2

$- 1$ を $14 λ$ で因数分解します。

$- (λ^{3}) - (- 14 λ) - 13 = 0$

ステップ 1.7.1.1.3

$- 13$ を $- 1 (13)$ に書き換えます。

$- (λ^{3}) - (- 14 λ) - 1 \cdot 13 = 0$

ステップ 1.7.1.1.4

$- 1$ を $- (λ^{3}) - (- 14 λ)$ で因数分解します。

$- (λ^{3} - 14 λ) - 1 \cdot 13 = 0$

ステップ 1.7.1.1.5

$- 1$ を $- (λ^{3} - 14 λ) - 1 (13)$ で因数分解します。

$- (λ^{3} - 14 λ + 13) = 0$

ステップ 1.7.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1

有理根検定を用いて $λ^{3} - 14 λ + 13$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1$

ステップ 1.7.1.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 13$

ステップ 1.7.1.2.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} - 14 \cdot 1 + 13$

ステップ 1.7.1.2.1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 - 14 \cdot 1 + 13$

ステップ 1.7.1.2.1.3.3

$- 14$ に $1$ をかけます。

$1 - 14 + 13$

ステップ 1.7.1.2.1.3.4

$1$ から $14$ を引きます。

$- 13 + 13$

ステップ 1.7.1.2.1.3.5

$- 13$ と $13$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.7.1.2.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $λ - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{λ^{3} - 14 λ + 13}{λ - 1}$

ステップ 1.7.1.2.1.5

$λ^{3} - 14 λ + 13$ を $λ - 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$14 λ$

$13$

ステップ 1.7.1.2.1.5.2

被除数 $λ^{3}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$

ステップ 1.7.1.2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

ステップ 1.7.1.2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $λ^{3} - λ^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

ステップ 1.7.1.2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$

ステップ 1.7.1.2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$

ステップ 1.7.1.2.1.5.7

被除数 $λ^{2}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$

ステップ 1.7.1.2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					+	$λ^{2}$	-	$λ$

ステップ 1.7.1.2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $λ^{2} - λ$ の符号をすべて変更します。

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$

ステップ 1.7.1.2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$

ステップ 1.7.1.2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$

ステップ 1.7.1.2.1.5.12

被除数 $- 13 λ$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$

ステップ 1.7.1.2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							-	$13 λ$	+	$13$

ステップ 1.7.1.2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 13 λ + 13$ の符号をすべて変更します。

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							+	$13 λ$	-	$13$

ステップ 1.7.1.2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							+	$13 λ$	-	$13$
										$0$

ステップ 1.7.1.2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$λ^{2} + λ - 13$

ステップ 1.7.1.2.1.6

$λ^{3} - 14 λ + 13$ を因数の集合として書き換えます。

$- ((λ - 1) (λ^{2} + λ - 13)) = 0$

ステップ 1.7.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (λ - 1) (λ^{2} + λ - 13) = 0$

ステップ 1.7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ - 1 = 0$

$λ^{2} + λ - 13 = 0$

ステップ 1.7.3

$λ - 1$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

$λ - 1$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 1 = 0$

ステップ 1.7.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$λ = 1$

ステップ 1.7.4

$λ^{2} + λ - 13$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

$λ^{2} + λ - 13$ が $0$ に等しいとします。

$λ^{2} + λ - 13 = 0$

ステップ 1.7.4.2

$λ$ について $λ^{2} + λ - 13 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.7.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = - 13$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $λ$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 13)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.4.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 13$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 13}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 13$ をかけます。

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 52}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.4.2.3.1.3

$1$ と $52$ をたし算します。

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{53}}{2}$

ステップ 1.7.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$

ステップ 1.7.5

最終解は $- (λ - 1) (λ^{2} + λ - 13) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 1, - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

対応する要素を引きます。

$[\begin{array}{c} - 2 - 1 & 3 - 0 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 2$ から $1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 - 0 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.2

$3$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.3

$0$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.4

$3$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.5

$0$ から $1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.6

$1$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.7

$1$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.8

$1$ から $0$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2.9

$2$ から $1$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot - 1 & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 1 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} & 0 + 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.6.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y + \frac{1}{2} z = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ - \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 4.2.1.2.1

$\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2