線形代数例

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 1.2

サイズ $2$ の単位行列または恒等行列は $2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 \\ - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 \\ - 1 & 4 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (3 - λ) (4 - λ) - - - 2$

ステップ 1.5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(3 - λ) (4 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 3 (4 - λ) - λ (4 - λ) - - - 2$

ステップ 1.5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 3 \cdot 4 + 3 (- λ) - λ (4 - λ) - - - 2$

ステップ 1.5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 3 \cdot 4 + 3 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - - - 2$

ステップ 1.5.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.1

$3$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = 12 + 3 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - - - 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$p (λ) = 12 - 3 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - - - 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 12 - 3 λ - 4 λ - λ (- λ) - - - 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 12 - 3 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - - - 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 12 - 3 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - - - 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 12 - 3 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - - - 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 12 - 3 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - - - 2$

ステップ 1.5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 12 - 3 λ - 4 λ + λ^{2} - - - 2$

ステップ 1.5.2.1.2.2

$- 3 λ$ から $4 λ$ を引きます。

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - - - 2$

ステップ 1.5.2.1.3

$- - - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.3.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 1 \cdot 2$

ステップ 1.5.2.1.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 2$

ステップ 1.5.2.2

$12$ から $2$ を引きます。

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 10$

ステップ 1.5.2.3

$- 7 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 10$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{2} - 7 λ + 10 = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

たすき掛けを利用して $λ^{2} - 7 λ + 10$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $10$ で、その和が $- 7$ です。

$- 5, - 2$

ステップ 1.7.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(λ - 5) (λ - 2) = 0$

ステップ 1.7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ - 5 = 0$

$λ - 2 = 0$

ステップ 1.7.3

$λ - 5$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

$λ - 5$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 5 = 0$

ステップ 1.7.3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$λ = 5$

ステップ 1.7.4

$λ - 2$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

$λ - 2$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 2 = 0$

ステップ 1.7.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$λ = 2$

ステップ 1.7.5

最終解は $(λ - 5) (λ - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 5, 2$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] - 5 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- 5$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$- 5$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2

$- 5$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3

$- 5$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 3 - 5 & - 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 5 \end{array}]$

ステップ 3.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$3$ から $5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 5 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ - 1 + 0 & 4 - 5 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.3

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ - 1 & 4 - 5 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4

$4$ から $5$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ - 1 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = 5$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 & 0 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- 2$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 3 - 2 & - 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$3$ から $2$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 1 & 4 - 2 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

$4$ から $2$ を引きます。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - 2 & 0 + 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 2 y = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 y \\ y \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$

線形代数 例

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