線形代数例

- 4 \sqrt{3} + i

$- 4 \sqrt{3} + i$

ステップ 1

複素数の三角法の式です。ここで、

| z |

$| z |$ は絶対値、

θ

$θ$ は複素数平面上にできる角です。

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 2

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

z = a + b i

$z = a + b i$ ならば

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 3

a = - 4 \sqrt{3}

$a = - 4 \sqrt{3}$ と

b = 1

$b = 1$ の実際の値を代入します。

| z | = \sqrt{1^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 4

| z |

$| z |$ を求めます。

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ステップ 4.1

式を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

| z | = \sqrt{1 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 4.1.2

積の法則を

- 4 \sqrt{3}

$- 4 \sqrt{3}$ に当てはめます。

| z | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 4.1.3

- 4

$- 4$ を

2

$2$ 乗します。

| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 4.2

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ を

3

$3$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ を

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

| z | = \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.2.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

2

$2$ をまとめます。

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.4

2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

ステップ 4.2.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$16$ に

$3$ をかけます。

$| z | = \sqrt{1 + 48}$

ステップ 4.3.2

$1$ と

$48$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{49}$

ステップ 4.3.3

$49$ を

$7^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{7^{2}}$

$| z | = \sqrt{7^{2}}$

ステップ 4.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 7$

$| z | = 7$

ステップ 5

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{1}{- 4 \sqrt{3}})$

ステップ 6

$\frac{1}{- 4 \sqrt{3}}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は

$2.99824508$ です。

$θ = 2.99824508$

ステップ 7

$θ = 2.99824508$ と

$| z | = 7$ の値を代入します。

$7 (\cos (2.99824508) + i \sin (2.99824508))$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$