線形代数例

$x ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a + d \\ - 4 b \end{array}]$

ステップ 1

変換は $ℝ^{3}$ から $ℝ^{2}$ への写像を定義します。変換が線形であることを証明するために、変換はスカラー乗法、加法、およびゼロベクトルを維持しなければなりません。

x: $ℝ^{3} \to ℝ^{2}$

ステップ 2

まず、変換がこの特性をもっていることを証明します。

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

ステップ 3

2つの行列を設定し、加算の性質が $x$ に維持されているか検定します。

$x ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

ステップ 4

2つの行列を加えます。

$x [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

ステップ 5

ベクトルに変換を当てはめます。

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{3} + y_{3} \\ - 4 (x_{2} + y_{2}) \end{array}]$

ステップ 6

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 6.1

$2 (x_{1} + y_{1}) + x_{3} + y_{3}$ を並べ替えます。

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{3} \\ - 4 (x_{2} + y_{2}) \end{array}]$

ステップ 6.2

$- 4 (x_{2} + y_{2})$ を並べ替えます。

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{3} \\ - 4 x_{2} - 4 y_{2} \end{array}]$

ステップ 7

変数をグループ化して、結果を2つの行列に分割します。

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} + x_{3} \\ - 4 x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} + y_{3} \\ - 4 y_{2} \end{array}]$

ステップ 8

変換の加法の特性が当てはまります。

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

ステップ 9

変換が線形であるためには、スカラー乗法を維持する必要があります。

$x (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}])$

ステップ 10

各要素から $p$ を因数分解します。

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ステップ 10.1

$p$ に行列の各要素を掛けます。

$x (p x) = x ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p d \end{array}])$

ステップ 10.2

ベクトルに変換を当てはめます。

$x (p x) = [\begin{array}{c} 2 (p a + p d) \\ - 4 (p b) \end{array}]$

ステップ 10.3

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 10.3.1

$2 (p a + p d)$ を並べ替えます。

$x (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p + 2 d p \\ - 4 (p b) \end{array}]$

ステップ 10.3.2

$- 4 (p b)$ を並べ替えます。

$x (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p + 2 d p \\ - 4 p b \end{array}]$

ステップ 10.4

行列の各要素を因数分解します。

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ステップ 10.4.1

$2 a p + 2 d p$ を掛けて要素 $0, 0$ を因数分解します。

$x (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a + 2 d) \\ - 4 p b \end{array}]$

ステップ 10.4.2

$- 4 p b$ を掛けて要素 $1, 0$ を因数分解します。

$x (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a + 2 d) \\ p (- 4 b) \end{array}]$

ステップ 11

線形変換の2番目の特性はこの変換で維持されます。

$x (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = p x (x)$

ステップ 12

変換が線形であるために、0ベクトルが保存されている必要があります。

$x (0) = 0$

ステップ 13

ベクトルに変換を当てはめます。

$x (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) + 0 \\ - 4 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 14

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 14.1

$2 (0) + 0$ を並べ替えます。

$x (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 14.2

$- 4 \cdot 0$ を並べ替えます。

$x (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

ステップ 15

ゼロベクトルは変換によって維持されます。

$x (0) = 0$

ステップ 16

一次変換の3つの特性が一致しないので、これは一次変換ではありません。

線形変換

線形代数 例

線形代数例