線形代数例

$[\begin{array}{c} 6 & - 2 & - 4 & 4 \\ 3 & - 3 & - 6 & 1 \\ - 12 & 8 & 21 & - 8 \\ - 6 & 0 & - 10 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}]$

Step 1

変換のカーネルは、変換を0ベクトルに等しくするベクトルです（変換の原像）

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}] = 0$

Step 2

ベクトル方程式で連立方程式を作成します。

$2 = 0$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 3

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$0 = - 2$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 4

方程式の両辺に $4$ を足します。

$0 = 4$

$0 = - 2$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 5

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$0 = - 8$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$- 43 = 0$

Step 6

方程式の両辺に $43$ を足します。

$0 = 43$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$0 = - 8$

Step 7

連立方程式を行列形式で書きます。

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Step 8

行列の縮小した階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$R_{1}$ （行 $1$ ）で行演算 $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ を実行し、行の一部の要素を $1$ に変えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$R_{1}$ （行 $1$ ）を行演算 $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ で置き換え、行の元を行の一部の元を $1$ に変えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{1} \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

$R_{1}$ （行 $1$ ）を行演算 $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ の元の実数で置き換えます。

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (- 2) \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

$R_{1}$ （行 $1$ ）を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2}$ （行 $2$ ）で行演算 $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ を実行し、行の一部の要素を $0$ に変えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$R_{2}$ （行 $2$ ）を行演算 $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ で置き換え、行の元を行の一部の元を $0$ に変えます。

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ （行 $2$ ）を行演算 $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ の元の実数で置き換えます。

$[\begin{array}{c} 1 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ （行 $2$ ）を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{3}$ （行 $3$ ）で行演算 $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ を実行し、行の一部の要素を $0$ に変えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$R_{3}$ （行 $3$ ）を行演算 $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ で置き換え、行の元を行の一部の元を $0$ に変えます。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 8 \cdot R_{1} + R_{3} \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ （行 $3$ ）を行演算 $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ の元の実数で置き換えます。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (8) \cdot (1) - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ （行 $3$ ）を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 43 \end{array}]$

$R_{4}$ （行 $4$ ）で行演算 $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ を実行し、行の一部の要素を $0$ に変えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$R_{4}$ （行 $4$ ）を行演算 $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ で置き換え、行の元を行の一部の元を $0$ に変えます。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 43 \cdot R_{1} + R_{4} \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

$R_{4}$ （行 $4$ ）を行演算 $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ の元の実数で置き換えます。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ (- 43) \cdot (1) + 43 \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

$R_{4}$ （行 $4$ ）を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 9

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$0 = 1$

Step 10

この式は連立方程式の解の集合です。

${}$

Step 11

各行で従属変数を解くことで拡張された行列の行を減少した形式に表れる各式を並べ替えることで解ベクトルを分解し、ベクトル等式を求めます。

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 12

集合の0空間は、式の自由変数から作られるベクトルの集合です。

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 13

$M$ の核（カーネル）は部分空間 ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ です。

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

線形代数 例

線形代数例