線形代数例

$3 x^{2} + n x + 5 = 0$

ステップ 1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2

$a = 3$ 、 $b = n$ 、および $c = 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 5)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$- 4 \cdot 3 \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.1.2

$- 12$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

ステップ 4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 4.1

$- 4 \cdot 3 \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.1.2

$- 12$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

ステップ 4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

ステップ 4.4

$- 1$ を $- n$ で因数分解します。

$x = \frac{- (n) + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

ステップ 4.5

$- 1$ を $\sqrt{n^{2} - 60}$ で因数分解します。

$x = \frac{- (n) - 1 (- \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $- (n) - 1 (- \sqrt{n^{2} - 60})$ で因数分解します。

$x = \frac{- (n - \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

ステップ 4.7

$- (n - \sqrt{n^{2} - 60})$ を $- 1 (n - \sqrt{n^{2} - 60})$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 (n - \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

ステップ 4.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.1

$- 4 \cdot 3 \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.1.2

$- 12$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

ステップ 5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

ステップ 5.4

$- 1$ を $- n$ で因数分解します。

$x = \frac{- (n) - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

ステップ 5.5

$- 1$ を $- \sqrt{n^{2} - 60}$ で因数分解します。

$x = \frac{- (n) - (\sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

ステップ 5.6

$- 1$ を $- (n) - (\sqrt{n^{2} - 60})$ で因数分解します。

$x = \frac{- (n + \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

ステップ 5.7

$- (n + \sqrt{n^{2} - 60})$ を $- 1 (n + \sqrt{n^{2} - 60})$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 (n + \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

ステップ 5.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

ステップ 6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}, - \frac{n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

ステップ 7

$\sqrt{n^{2} - 60}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$n^{2} - 60 \geq 0$

ステップ 8

$n$ について解きます。

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ステップ 8.1

不等式の両辺に $60$ を足します。

$n^{2} \geq 60$

ステップ 8.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{n^{2}} \geq \sqrt{60}$

ステップ 8.3

方程式を簡約します。

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ステップ 8.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| n | \geq \sqrt{60}$

ステップ 8.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

$\sqrt{60}$ を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1.1

$60$ を $2^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.2.1.1.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$| n | \geq \sqrt{4 (15)}$

ステップ 8.3.2.1.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| n | \geq \sqrt{2^{2} \cdot 15}$

ステップ 8.3.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| n | \geq | 2 | \sqrt{15}$

ステップ 8.3.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$| n | \geq 2 \sqrt{15}$

ステップ 8.4

$| n | \geq 2 \sqrt{15}$ を区分で書きます。

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ステップ 8.4.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$n \geq 0$

ステップ 8.4.2

$n$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$n \geq 2 \sqrt{15}$

ステップ 8.4.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$n < 0$

ステップ 8.4.4

$n$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- n \geq 2 \sqrt{15}$

ステップ 8.4.5

区分で書きます。

${\begin{cases} n \geq 2 \sqrt{15} & n \geq 0 \\ - n \geq 2 \sqrt{15} & n < 0 \end{cases}$

ステップ 8.5

$n \geq 2 \sqrt{15}$ と $n \geq 0$ の交点を求めます。

$n \geq 2 \sqrt{15}$

ステップ 8.6

$- n \geq 2 \sqrt{15}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.6.1

$- n \geq 2 \sqrt{15}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- n}{- 1} \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

ステップ 8.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{n}{1} \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

ステップ 8.6.2.2

$n$ を $1$ で割ります。

$n \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

ステップ 8.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.6.3.1

$\frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$n \leq - 1 \cdot (2 \sqrt{15})$

ステップ 8.6.3.2

$- 1 \cdot (2 \sqrt{15})$ を $- (2 \sqrt{15})$ に書き換えます。

$n \leq - (2 \sqrt{15})$

ステップ 8.6.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$n \leq - 2 \sqrt{15}$

ステップ 8.7

解の和集合を求めます。

$n \leq - 2 \sqrt{15}$ または $n \geq 2 \sqrt{15}$

ステップ 9

定義域は式が定義になる $n$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 2 \sqrt{15}] \cup [2 \sqrt{15}, \infty)$

集合の内包的記法：

${n | n \leq - 2 \sqrt{15}, n \geq 2 \sqrt{15}}$

ステップ 10

線形代数 例

線形代数例