線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 \\ - 2 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 3 & - 4 & 5 \\ 1 & - 1 & - 2 \end{array}]$

ステップ 1

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 \\ - 2 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 3 & - 4 & 5 \\ 1 & - 1 & - 2 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 3$ .

ステップ 1.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 - 3 \cdot 1 & 1 \cdot 3 + 0 \cdot - 4 - 3 \cdot - 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 5 - 3 \cdot - 2 \\ - 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 5 \cdot 1 & - 2 \cdot 3 + 1 \cdot - 4 + 5 \cdot - 1 & - 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5 + 5 \cdot - 2 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 2 \cdot 1 & 3 \cdot 3 + 4 \cdot - 4 + 2 \cdot - 1 & 3 \cdot 1 + 4 \cdot 5 + 2 \cdot - 2 \end{array}]$

ステップ 1.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 6 & 7 \\ 4 & - 15 & - 7 \\ 20 & - 9 & 19 \end{array}]$

ステップ 2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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ステップ 2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 15 & - 7 \\ - 9 & 19 \end{array} |$

ステップ 2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 15 & - 7 \\ - 9 & 19 \end{array} |$

ステップ 2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} |$

ステップ 2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} |$

ステップ 2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

ステップ 2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

ステップ 2.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} - 15 & - 7 \\ - 9 & 19 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

ステップ 3

$| \begin{array}{c} - 15 & - 7 \\ - 9 & 19 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 1 (- 15 \cdot 19 - (- 9 \cdot - 7)) - 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

ステップ 3.2

行列式を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$- 15$ に $19$ をかけます。

$- 1 (- 285 - (- 9 \cdot - 7)) - 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

ステップ 3.2.1.2

$- (- 9 \cdot - 7)$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.2.1

$- 9$ に $- 7$ をかけます。

$- 1 (- 285 - 1 \cdot 63) - 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

ステップ 3.2.1.2.2

$- 1$ に $63$ をかけます。

$- 1 (- 285 - 63) - 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

ステップ 3.2.2

$- 285$ から $63$ を引きます。

$- 1 \cdot - 348 - 6 | \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} 4 & - 7 \\ 20 & 19 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 1 \cdot - 348 - 6 (4 \cdot 19 - 20 \cdot - 7) + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$4$ に $19$ をかけます。

$- 1 \cdot - 348 - 6 (76 - 20 \cdot - 7) + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

ステップ 4.2.1.2

$- 20$ に $- 7$ をかけます。

$- 1 \cdot - 348 - 6 (76 + 140) + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

ステップ 4.2.2

$76$ と $140$ をたし算します。

$- 1 \cdot - 348 - 6 \cdot 216 + 7 | \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$

ステップ 5

$| \begin{array}{c} 4 & - 15 \\ 20 & - 9 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 1 \cdot - 348 - 6 \cdot 216 + 7 (4 \cdot - 9 - 20 \cdot - 15)$

ステップ 5.2

行列式を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$4$ に $- 9$ をかけます。

$- 1 \cdot - 348 - 6 \cdot 216 + 7 (- 36 - 20 \cdot - 15)$

ステップ 5.2.1.2

$- 20$ に $- 15$ をかけます。

$- 1 \cdot - 348 - 6 \cdot 216 + 7 (- 36 + 300)$

ステップ 5.2.2

$- 36$ と $300$ をたし算します。

$- 1 \cdot - 348 - 6 \cdot 216 + 7 \cdot 264$

ステップ 6

行列式を簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$- 1$ に $- 348$ をかけます。

$348 - 6 \cdot 216 + 7 \cdot 264$

ステップ 6.1.2

$- 6$ に $216$ をかけます。

$348 - 1296 + 7 \cdot 264$

ステップ 6.1.3

$7$ に $264$ をかけます。

$348 - 1296 + 1848$

ステップ 6.2

$348$ から $1296$ を引きます。

$- 948 + 1848$

ステップ 6.3

$- 948$ と $1848$ をたし算します。

$900$

線形代数 例

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