線形代数例

$x + 5 \sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$

ステップ 1

$\sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} + 11 x + 3 \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 11 x + 3 = 0$

ステップ 2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3

$a = 1$ 、 $b = 11$ 、および $c = 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$11$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.3

$121$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

ステップ 2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$11$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.3

$121$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

ステップ 2.5.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 11 + \sqrt{109}}{2}$

ステップ 2.5.4

$- 11$ を $- 1 (11)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 11 + \sqrt{109}}{2}$

ステップ 2.5.5

$- 1$ を $\sqrt{109}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - 1 (- \sqrt{109})}{2}$

ステップ 2.5.6

$- 1$ を $- 1 (11) - 1 (- \sqrt{109})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (11 - \sqrt{109})}{2}$

ステップ 2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

ステップ 2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

$11$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.3

$121$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

ステップ 2.6.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 11 - \sqrt{109}}{2}$

ステップ 2.6.4

$- 11$ を $- 1 (11)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - \sqrt{109}}{2}$

ステップ 2.6.5

$- 1$ を $- \sqrt{109}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - (\sqrt{109})}{2}$

ステップ 2.6.6

$- 1$ を $- 1 (11) - (\sqrt{109})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (11 + \sqrt{109})}{2}$

ステップ 2.6.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

ステップ 2.7

解をまとめます。

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

ステップ 2.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

ステップ 2.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

区間 $x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1.1

区間 $x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 13$

ステップ 2.9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 13$ で置き換えます。

${(- 13)}^{2} + 11 (- 13) + 3 \geq 0$

ステップ 2.9.1.3

左辺 $29$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.9.2

区間 $- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

区間 $- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 2.9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

${(- 3)}^{2} + 11 (- 3) + 3 \geq 0$

ステップ 2.9.2.3

左辺 $- 21$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.9.3

区間 $x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.3.1

区間 $x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.9.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} + 11 (0) + 3 \geq 0$

ステップ 2.9.3.3

左辺 $3$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ 真

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ 偽

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ 真

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ 真

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ 偽

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ 真

ステップ 2.10

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ または $x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}] \cup [- \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}, x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}}$

ステップ 4

線形代数 例

線形代数例