線形代数例

$y = \ln (x^{2} + \sqrt{x}) + a r c t g (\frac{e^{x}}{x}) + \frac{1}{x}$

ステップ 1

$\ln (x^{2} + \sqrt{x})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} + \sqrt{x} > 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

不等式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$\sqrt{x} > - x^{2}$

ステップ 2.2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x}}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} > {(- x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

簡約します。

$x > {(- x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

${(- x^{2})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

積の法則を $- x^{2}$ に当てはめます。

$x > {(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3.3.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x > 1 {(x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3.3.1.3

${(x^{2})}^{2}$ に $1$ をかけます。

$x > {(x^{2})}^{2}$

ステップ 2.3.3.1.4

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x > x^{2 \cdot 2}$

ステップ 2.3.3.1.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x > x^{4}$

ステップ 2.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

不等式の両辺から $x^{4}$ を引きます。

$x - x^{4} > 0$

ステップ 2.4.2

不等式を方程式に変換します。

$x - x^{4} = 0$

ステップ 2.4.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$x$ を $x - x^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x - x^{4} = 0$

ステップ 2.4.3.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

ステップ 2.4.3.1.3

$x$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

ステップ 2.4.3.1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ で因数分解します。

$x (1 - x^{3}) = 0$

ステップ 2.4.3.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

ステップ 2.4.3.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

ステップ 2.4.3.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.4.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

ステップ 2.4.3.4.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

ステップ 2.4.3.4.2

不要な括弧を削除します。

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

ステップ 2.4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0$

ステップ 2.4.5

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4.6

$1 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.1

$1 - x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - x = 0$

ステップ 2.4.6.2

$x$ について $1 - x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 2.4.6.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.6.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.4.6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.6.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.4.6.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.4.6.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 2.4.7

$1 + x + x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.7.1

$1 + x + x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$1 + x + x^{2} = 0$

ステップ 2.4.7.2

$x$ について $1 + x + x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.7.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.7.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.7.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.4.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.4.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.7.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.7.2.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.7.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.4.7.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.4.7.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.7.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.5.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.5.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.7.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.7.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.7.2.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.7.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.4.7.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.4.7.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.7.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.4.8

最終解は $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5

$x^{2} + \sqrt{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.5.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.5.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 2.6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 2.7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 2.7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{2} + \sqrt{- 2} > 0$

ステップ 2.7.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.7.2

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.7.2.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 2.7.2.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

${(0.5)}^{2} + \sqrt{0.5} > 0$

ステップ 2.7.2.3

左辺 $0.95710678$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.7.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.7.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.7.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{2} + \sqrt{4} > 0$

ステップ 2.7.3.3

左辺 $18$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 真

$x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 真

ステップ 2.8

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < 1$ または $x > 1$

ステップ 3

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 4

$\frac{e^{x}}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0, x \neq 1}$

ステップ 6

線形代数 例

線形代数例