線形代数例

${| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| p + q |}^{2}$ の絶対値を削除します。

${(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

ステップ 1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| p - q |}^{2}$ の絶対値を削除します。

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

ステップ 2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| p |}^{2}$ の絶対値を削除します。

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}$

ステップ 2.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| q |}^{2}$ の絶対値を削除します。

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

ステップ 3

$p$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺から $2 p^{2}$ を引きます。

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

${(p + q)}^{2}$ を $(p + q) (p + q)$ に書き換えます。

$(p + q) (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(p + q) (p + q)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$p (p + q) + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.2.2

分配則を当てはめます。

$p \cdot p + p q + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.2.3

分配則を当てはめます。

$p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1

$p$ に $p$ をかけます。

$p^{2} + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.3.1.2

$q$ に $q$ をかけます。

$p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.3.2

$p q$ と $q p$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

$q$ と $p$ を並べ替えます。

$p^{2} + p q + p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.3.2.2

$p q$ と $p q$ をたし算します。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.4

${(p - q)}^{2}$ を $(p - q) (p - q)$ に書き換えます。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + (p - q) (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.5

分配法則（FOIL法）を使って $(p - q) (p - q)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

分配則を当てはめます。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p (p - q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.5.2

分配則を当てはめます。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.5.3

分配則を当てはめます。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1.1

$p$ に $p$ をかけます。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.6.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.6.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.6.1.4

指数を足して $q$ に $q$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1.4.1

$q$ を移動させます。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.6.1.4.2

$q$ に $q$ をかけます。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.6.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.6.1.6

$q^{2}$ に $1$ をかけます。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.6.2

$- p q$ から $q p$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.2.1

$q$ を移動させます。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - 1 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.2.6.2.2

$- p q$ から $p q$ を引きます。

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.3

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2 p q$ から $2 p q$ を引きます。

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + 0 + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.3.2

$p^{2} + q^{2} + p^{2}$ と $0$ をたし算します。

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.4

$p^{2}$ と $p^{2}$ をたし算します。

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.5

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$2 p^{2}$ から $2 p^{2}$ を引きます。

$q^{2} + q^{2} + 0 = 2 q^{2}$

ステップ 3.5.2

$q^{2} + q^{2}$ と $0$ をたし算します。

$q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 3.6

$q^{2}$ と $q^{2}$ をたし算します。

$2 q^{2} = 2 q^{2}$

ステップ 4

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$q^{2}$ を $1$ で割ります。

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

共通因数を約分します。

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

ステップ 4.3.1.2

$q^{2}$ を $1$ で割ります。

$q^{2} = q^{2}$

ステップ 5

指数が等しいので、方程式の両辺の指数の底は等しくなければなりません。

$| q | = | q |$

ステップ 6

$q$ について解きます。

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ステップ 6.1

絶対値方程式を絶対値記号がない4つの方程式に書き換えます。

$q = q$

$q = - q$

$- q = q$

$- q = - q$

ステップ 6.2

簡約した後、解くべき方程式は2つだけです。

$q = q$

$q = - q$

ステップ 6.3

$q$ について $q = q$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$q$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

方程式の両辺から $q$ を引きます。

$q - q = 0$

ステップ 6.3.1.2

$q$ から $q$ を引きます。

$0 = 0$

ステップ 6.3.2

$0 = 0$ なので、方程式は常に真になります。

常に真

ステップ 6.4

$q$ について $q = - q$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$q$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

方程式の両辺に $q$ を足します。

$q + q = 0$

ステップ 6.4.1.2

$q$ と $q$ をたし算します。

$2 q = 0$

ステップ 6.4.2

$2 q = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$2 q = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 6.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 6.4.2.2.1.2

$q$ を $1$ で割ります。

$q = \frac{0}{2}$

ステップ 6.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$q = 0$

ステップ 6.5

すべての解をまとめます。

$q = 0$

ステップ 7

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 8

線形代数 例

線形代数例