線形代数例

${(3 - h)}^{2} + {(- 5 - k)}^{2} = 2 {(\sqrt{7})}^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺から ${(- 5 - k)}^{2}$ を引きます。

${(3 - h)}^{2} = 2 {\sqrt{7}}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

ステップ 2

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(3 - h)}^{2} = 2 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

ステップ 2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 5 - k)}^{2}$

ステップ 2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

ステップ 2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

共通因数を約分します。

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

ステップ 2.4.2

式を書き換えます。

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{1} - {(- 5 - k)}^{2}$

ステップ 2.5

指数を求めます。

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7 - {(- 5 - k)}^{2}$

ステップ 3

$2$ に $7$ をかけます。

${(3 - h)}^{2} = 14 - {(- 5 - k)}^{2}$

ステップ 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

${(- 5 - k)}^{2}$ を $(- 5 - k) (- 5 - k)$ に書き換えます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - ((- 5 - k) (- 5 - k))}$

ステップ 5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 5 - k) (- 5 - k)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 (- 5 - k) - k (- 5 - k))}$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k (- 5 - k))}$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

ステップ 5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

ステップ 5.3.1.2

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k - k \cdot - 5 - k (- k))}$

ステップ 5.3.1.3

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - k (- k))}$

ステップ 5.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k \cdot k)}$

ステップ 5.3.1.5

指数を足して $k$ に $k$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.5.1

$k$ を移動させます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 (k \cdot k))}$

ステップ 5.3.1.5.2

$k$ に $k$ をかけます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k^{2})}$

ステップ 5.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + 1 k^{2})}$

ステップ 5.3.1.7

$k^{2}$ に $1$ をかけます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + k^{2})}$

ステップ 5.3.2

$5 k$ と $5 k$ をたし算します。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 10 k + k^{2})}$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 1 \cdot 25 - (10 k) - k^{2}}$

ステップ 5.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$- 1$ に $25$ をかけます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - (10 k) - k^{2}}$

ステップ 5.5.2

$10$ に $- 1$ をかけます。

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - 10 k - k^{2}}$

ステップ 5.6

$14$ から $25$ を引きます。

$3 - h = \pm \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$3 - h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

ステップ 6.3

$- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- h}{- 1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{h}{1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2

$h$ を $1$ で割ります。

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1

$\frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$h = - 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.3.3.1.2

$- 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ を $- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ に書き換えます。

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.3.3.1.3

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

ステップ 6.4

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$3 - h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

ステップ 6.5

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

ステップ 6.6

$- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- h}{- 1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{h}{1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.6.2.2

$h$ を $1$ で割ります。

$h = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.6.3.1.2

$\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ を $1$ で割ります。

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.6.3.1.3

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

ステップ 6.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

ステップ 7

$\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- 11 - 10 k - k^{2} \geq 0$

ステップ 8

$k$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

不等式を方程式に変換します。

$- 11 - 10 k - k^{2} = 0$

ステップ 8.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 8.3

$a = - 1$ 、 $b = - 10$ 、および $c = - 11$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $k$ の値を求めます。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 11)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.4.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.4.1.2.2

$4$ に $- 11$ をかけます。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.4.1.3

$100$ から $44$ を引きます。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.4.1.4

$56$ を $2^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.4.1

$4$ を $56$ で因数分解します。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

ステップ 8.4.3

$\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ を簡約します。

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

ステップ 8.4.4

$\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

ステップ 8.4.5

$- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ を $- (5 \pm \sqrt{14})$ に書き換えます。

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

ステップ 8.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.5.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.5.1.2.2

$4$ に $- 11$ をかけます。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.5.1.3

$100$ から $44$ を引きます。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.5.1.4

$56$ を $2^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1.4.1

$4$ を $56$ で因数分解します。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

ステップ 8.5.3

$\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ を簡約します。

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

ステップ 8.5.4

$\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

ステップ 8.5.5

$- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ を $- (5 \pm \sqrt{14})$ に書き換えます。

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

ステップ 8.5.6

$\pm$ を $+$ に変更します。

$k = - (5 + \sqrt{14})$

ステップ 8.5.7

分配則を当てはめます。

$k = - 1 \cdot 5 - \sqrt{14}$

ステップ 8.5.8

$- 1$ に $5$ をかけます。

$k = - 5 - \sqrt{14}$

ステップ 8.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.6.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.6.1.2.2

$4$ に $- 11$ をかけます。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.6.1.3

$100$ から $44$ を引きます。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.6.1.4

$56$ を $2^{2} \cdot 14$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1.4.1

$4$ を $56$ で因数分解します。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

ステップ 8.6.3

$\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ を簡約します。

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

ステップ 8.6.4

$\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

ステップ 8.6.5

$- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ を $- (5 \pm \sqrt{14})$ に書き換えます。

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

ステップ 8.6.6

$\pm$ を $-$ に変更します。

$k = - (5 - \sqrt{14})$

ステップ 8.6.7

分配則を当てはめます。

$k = - 1 \cdot 5 + \sqrt{14}$

ステップ 8.6.8

$- 1$ に $5$ をかけます。

$k = - 5 + \sqrt{14}$

ステップ 8.6.9

$- - \sqrt{14}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$k = - 5 + 1 \sqrt{14}$

ステップ 8.6.9.2

$\sqrt{14}$ に $1$ をかけます。

$k = - 5 + \sqrt{14}$

ステップ 8.7

解をまとめます。

$k = - 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}$

ステップ 8.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$k < - 5 - \sqrt{14}$

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$

$k > - 5 + \sqrt{14}$

ステップ 8.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.9.1

区間 $k < - 5 - \sqrt{14}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.9.1.1

区間 $k < - 5 - \sqrt{14}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$k = - 11$

ステップ 8.9.1.2

$k$ を元の不等式の $- 11$ で置き換えます。

$- 11 - 10 \cdot - 11 - {(- 11)}^{2} \geq 0$

ステップ 8.9.1.3

左辺 $- 22$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.9.2

区間 $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.9.2.1

区間 $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$k = - 5$

ステップ 8.9.2.2

$k$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$- 11 - 10 \cdot - 5 - {(- 5)}^{2} \geq 0$

ステップ 8.9.2.3

左辺 $14$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.9.3

区間 $k > - 5 + \sqrt{14}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.9.3.1

区間 $k > - 5 + \sqrt{14}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$k = 0$

ステップ 8.9.3.2

$k$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$- 11 - 10 \cdot 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

ステップ 8.9.3.3

左辺 $- 11$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$k < - 5 - \sqrt{14}$ 偽

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ 真

$k > - 5 + \sqrt{14}$ 偽

$k < - 5 - \sqrt{14}$ 偽

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ 真

$k > - 5 + \sqrt{14}$ 偽

ステップ 8.10

解はすべての真の区間からなります。

$- 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}$

ステップ 9

定義域は式が定義になる $k$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}]$

集合の内包的記法：

${k | - 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}}$

ステップ 10

線形代数 例

線形代数例