線形代数例

$\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{x^{2}}{169}$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{169}$

ステップ 2

方程式の両辺に $25$ を掛けます。

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

ステップ 3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$25$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 25 \cdot 1 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

ステップ 3.2.1.2

$25$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 25 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

ステップ 3.2.1.3

$25 (- \frac{x^{2}}{169})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.3.1

$- 1$ に $25$ をかけます。

$y^{2} = 25 - 25 \frac{x^{2}}{169}$

ステップ 3.2.1.3.2

$- 25$ と $\frac{x^{2}}{169}$ をまとめます。

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{169}$

ステップ 3.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{169}$

ステップ 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 5.1.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{5^{2} - \frac{25 x^{2}}{169}}$

ステップ 5.1.2

$\frac{25 x^{2}}{169}$ を ${(\frac{5 x}{13})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{5^{2} - {(\frac{5 x}{13})}^{2}}$

ステップ 5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 5$ であり、 $b = \frac{5 x}{13}$ です。

$y = \pm \sqrt{(5 + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

ステップ 5.3

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{13}{13}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{(5 \cdot \frac{13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

ステップ 5.4

$5$ と $\frac{13}{13}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{(\frac{5 \cdot 13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 \cdot 13 + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

ステップ 5.6

$5$ を $5 \cdot 13 + 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.1

$5$ を $5 \cdot 13$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

ステップ 5.6.2

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 (x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

ステップ 5.6.3

$5$ を $5 (13) + 5 (x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

ステップ 5.7

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{13}{13}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 \cdot \frac{13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

ステップ 5.8

$5$ と $\frac{13}{13}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (\frac{5 \cdot 13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

ステップ 5.9

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 \cdot 13 - 5 x}{13}}$

ステップ 5.10

$5$ を $5 \cdot 13 - 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.10.1

$5$ を $5 \cdot 13$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) - 5 x}{13}}$

ステップ 5.10.2

$5$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) + 5 (- x)}{13}}$

ステップ 5.10.3

$5$ を $5 (13) + 5 (- x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13 - x)}{13}}$

ステップ 5.11

$\frac{5 (13 + x)}{13}$ に $\frac{5 (13 - x)}{13}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x) (5 (13 - x))}{13 \cdot 13}}$

ステップ 5.12

掛け算します。

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ステップ 5.12.1

$5$ に $5$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{13 \cdot 13}}$

ステップ 5.12.2

$13$ に $13$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}}$

ステップ 5.13

$\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}$ を ${(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 5.13.1

$25 (13 + x) (13 - x)$ から完全累乗 $5^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{169}}$

ステップ 5.13.2

$169$ から完全累乗 $13^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}}$

ステップ 5.13.3

分数 $\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))}$

ステップ 5.14

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{5}{13} \sqrt{(13 + x) (13 - x)}$

ステップ 5.15

$\frac{5}{13}$ と $\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

ステップ 6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

ステップ 7

$\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(13 + x) (13 - x) \geq 0$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$13 + x = 0$

$13 - x = 0$

ステップ 8.2

$13 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.2.1

$13 + x$ が $0$ に等しいとします。

$13 + x = 0$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺から $13$ を引きます。

$x = - 13$

ステップ 8.3

$13 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.3.1

$13 - x$ が $0$ に等しいとします。

$13 - x = 0$

ステップ 8.3.2

$x$ について $13 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 8.3.2.1

方程式の両辺から $13$ を引きます。

$- x = - 13$

ステップ 8.3.2.2

$- x = - 13$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.3.2.2.1

$- x = - 13$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 13}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 13}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 13}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.2.3.1

$- 13$ を $- 1$ で割ります。

$x = 13$

ステップ 8.4

最終解は $(13 + x) (13 - x) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 13, 13$

ステップ 8.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 13$

$- 13 < x < 13$

$x > 13$

ステップ 8.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.6.1

区間 $x < - 13$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.1.1

区間 $x < - 13$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 16$

ステップ 8.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 16$ で置き換えます。

$(13 - 16) (13 - (- 16)) \geq 0$

ステップ 8.6.1.3

左辺 $- 87$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.2

区間 $- 13 < x < 13$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.2.1

区間 $- 13 < x < 13$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(13 + 0) (13 - (0)) \geq 0$

ステップ 8.6.2.3

左辺 $169$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.6.3

区間 $x > 13$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.3.1

区間 $x > 13$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 16$

ステップ 8.6.3.2

$x$ を元の不等式の $16$ で置き換えます。

$(13 + 16) (13 - (16)) \geq 0$

ステップ 8.6.3.3

左辺 $- 87$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 13$ 偽

$- 13 < x < 13$ 真

$x > 13$ 偽

$x < - 13$ 偽

$- 13 < x < 13$ 真

$x > 13$ 偽

ステップ 8.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 13 \leq x \leq 13$

ステップ 9

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 13, 13]$

集合の内包的記法：

${x | - 13 \leq x \leq 13}$

ステップ 10

線形代数 例

線形代数例